Deus est sphaera infinita cujus centrum est ubique, circumferentia nusquam.
Liber XXIV philosophorum

Бог е безкрайна сфера, чийто център е навсякъде, а повърхността (обиколката) никъде.
„Книгата на 24-мата философи“

 

 

Истина и вярност в математиката

Чистата математика е класът на всички съждения „p влече q“, където p и q са съждения, съдържащи една или повече променливи, еднакви и в двете съждения, и нито p, нито q съдържа каквито и да е константи, освен логически константи.

… Освен това математиците използват едно понятие, което не участва в разглежданите съждения, а именно понятието истина.

Бетранд Ръсел

 

Някои разглеждат математиката като игра с правила; други я разглеждат като игра на правила. За първите правилата имат смисъл, за другите те пораждат смисъла, който е индивидуален за всяка игра. Първите не могат да приемат за истина друго, освен 2+2=4, докато за вторите това е въпрос на избор на правила и 2+2=5 е също толкова вярно, колкото и първото. Знаците “2”,”5”, “=” и “+” са въпрос на конвенция, на избор от хората и могат да означават всичко. В най-простия случай можем да кажем, че „2+2=5“ изразява твърдението, че когато разделим 2 на 1, остатъкът от деление е 0, но това важи и за 5, защото всяко число се дели на 1. Така „2+2=5“ се свежда до тривиалната истина „0+0=0“, но остава двусмислено написано, за разлика от приетата конвенция “2+2=5(mod 1)”.  Но що е истина?

Математиката се основава на дефиниции и аксиоми, толкова прости, колкото е възможно да се направят. Това са първоначалата на Евклид. Според Иван Гюзелев аксиомите се основават на опита и успоредните прави не могат да се срещнат никога, колкото и да ги продължаваме. Според Давид Хилберт аксиомите ги подбираме както пожелаем и единственото условие е да не си противоречат, да са съвместими. Така успоредните прави се пресичат в идеални точки, в безкрайността, с което се затваря числовата ос. Това е изчезващата точка от перспективата, краят на безкрайния път отвъд платното на картината. И двете перспективи към перспективата са верни, защото не противоречат на приетите аксиоми, нито помежду си.  Прави, които не се пресичат в нито една крайна точка, могат да се пресекат в безкрайна (Фиг.1). Окото не ни лъже и в двата случая… или поне ни показва верни неща.

 

Успоредните прави, които се пресичат в безкрайността зад гърба на Платон, „Школата на Атина“, от Рафаело Санцио.Фигура 1.  Успоредните прави, които се пресичат в безкрайността зад гърба на Платон, „Школата на Атина“, от Рафаело Санцио.

 

Винаги ще бъде вярно, че „2+2=4“ и „2+2=5“ в рамките на формалните правила, по които символите се манипулират, но от тях само едно е истина – защото винаги е вярно, тъй като е себеподобно. Можем всичко да манипулираме, без да нарушим правилата, но направим ли го двусмислено, то губи смисъл. А истината е в смисъла, в интерпретацията на системата от правила. Една система може да изразява много истини, но само ако не си противоречат, както „2+2=5“ и „2+2=4“ и не крият друга истина, както „2+2=5“ крие “2+2=5(mod 1)”. Геометрията на Евклид и елиптичната геометрия са еднакво консистентни, колкото едната е съвместима,т .е. „вярна“, толкова е  и другата. Единствената разлика помежду им е дали сме приели постулата за успоредните прави за верен. В едната правите могат да се продължат неограничено, в другата ролята на прави играят окръжностите, които са неограничени. И двете са верни, и двете са истинни – и двете отразяват реалността. И ако при едната имаме две успоредни прави, които не се пресичат в крайни точки, а при другата имаме сноп от успоредни окръжности, пресичащи се в две точки като меридианите на земята, при това сме изключили третото  (хиперболичната геометрия – Фиг.2), отново си задаваме въпроса – а що е истина?

 

Границата на кръга от Ешер, изобразяваща диска на Поанкаре – модел на хиперболичната геометрия на Лобачевски. Границата на кръга е безкрайността. Правите линии тук са диаметрите и всички дъги, перпендикулярни на тази граница (окръжността).

Фигура 2. Границата на кръга от Ешер, изобразяваща диска на Поанкаре – модел на хиперболичната геометрия на Лобачевски. Границата на кръга е безкрайността. Правите линии тук са диаметрите и всички дъги, перпендикулярни на тази граница (окръжността).

 

Той идва от това, че използваме еднакви думи за аналогични понятия. Те са подобни едно на друго, но най-вече всяко на себе си – истината е повече в тях, отколкото между тях, защото всяко е вярно на другото, но това са отражения. Верността е отношение към някого или нещо. Вярно спрямо оригинала. Вярно отражение на нещо. Истината не отразява нито едно вярно твърдение, тя бива отразявана от всяко от тях. Тя е винаги вярна на себе си, винаги себеподобна. Semper idem, semper fidelis. Тя е съвършеното запазване на твърденията, пълната симетрия. Затова истината е и красота.

 

Симетрия и космос според Херман Вайл

Херман Вайл е необикновен математик. За разлика от Готфрид Харди, който намира удовлетворение в студената красота на логиката и доказателството с достигане до противоречие (reduction ad absurdum), Вайл пренася художническите похвати в науката. Надарен с разностранни интереси и склонност към философията, този пръв и най-добър ученик на Давид Хилберт е бил предложен от своя колега Курант за наследник на Едмунд Хусерл в Гьотинген. Широтата на неговия ум отговаря на дълбочината му, изразявайки симетрията между детайлите и идеите, между системата и интерпретацията ѝ, между безкрайно малкото и безкрайно голямото (изразител на последното е Паскал). „Симетрия“ е неговата лебедова песен, цикъл от лекции за широката публика, съсредоточен върху физиката, изкуството, еволюцията и абстрактното описание на красивото в математиката. Това е последната книга, която той написва, следвайки особения рачешки ход от абстрактното и неясното, през конкретното, към абстрактното и точното, който път той описва в първа глава:

До известна степен тази схема е типична за цялото теоретично познание. Започваме с някое общо, но неопределено понятие (симетрията в първия смисъл), след това намираме важен случай, в който на това понятие можем да дадем конкретен точен смисъл (двустранната симетрия), а от този случай постепенно се издигаме пак до общност, водени повече от математически построения и абстракции, отколкото от миражите на философията; а ако имаме щастие, свършваме с идея, която съвсем не е по-малко универсална от онази, от която сме тръгнали.

Първият смисъл на симетрията е античното понятие за пропорционалност и „средната мярка“ на Аристотел от Никомаховата етика. Етимологията идва от „съизмеримост“, „пропорционалност“, което свързва симетрията с рационалността, от ratio – отношение. Това, което можеш да представиш като отношение на две цели числа е разбираемо, рационално и е красиво за ума (за разлика от това, което не можеш), като златното сечение (1).

(1)

Златното сечение се прилага в изкуството, в печата; то е синоним на пропорционалност при човешкото тяло; Лука Пачоли го възхвалява в De Divina Proportione, чиито илюстрации са дело на Леонардо Да Винчи (Фиг.3).

Додекаедър от De Divina Proportione, илюстрация на Леонардо Да Винчи.Фигура 3. Додекаедър от De Divina Proportione, илюстрация на Леонардо Да Винчи.

 

Простото и разбираемото е красиво за ума, а симетрията е негова изява. Златното сечение е проява на такава симетрия –видима както за окото (в смисъла на съразмерност), така и понятна за ума. Евклид го дефинира като „права линия, разделена в средно и крайно съотношение, така, че цялото се отнася към по-голямата част, както тя към по-малката“. Това е запазване на едно съотношение, което продължава назад, в безкрайността. Себеподобие, на всяко едно ниво в израза (1). То е изразено в додекаедъра, който има двойна симетрия – видима за окото и за ума. И все пак то е ирационално, непознаваемо и далече от простотата:

В природата има простота и следователно – голяма красота.
Ричард Файнман

Противоречието между видимата красота на съразмерността и скритата в нея фрактална несъизмеримост (1) се решава от по-точната дефиниция за симетрията, която дава Платон:

На живото същество, което ще обхваща в себе си всички живи същества, би подхождала форма, която обхваща в себе си всички възможни форми. Затова създателят го е очертал сферично, с еднакво разстояние от центъра до всички точки – най-съвършената от всички форми и най-подобната на себе си, смятайки, че подобното е  безкрайно по-красиво от неподобното.

Платон, Тимей 33б, прев. Г. Михайлов

 

Себеподобието на цялото е взаимното подобие на частите му. Ако разрежем сферата на две половини, те ще бъдат отражение една на друга. Всяка точка от долната част ще има идентична точка от горната, на същото разстояние от „огледалото“ :

Фигура 4 .Сфера, пресечена през средата от равнина. Долната половина е отражение на горната.

 

Ако сферата се завърти около оста си като Земята, ще изобрази  самата себе си. Всяка нейна точка ще се озове на мястото на друга нейна точка и сферата ще съвпадне със себе си, оставяйки центъра си неподвижен. На колко градуса може да се завърти, за да изобрази самата  себе си? На колкото поискаме. Всички точки на сферата са взаимозаменяеми, всеки ъгъл е позволен, около всяка ос. По колко начини можем да разрежем на две през центъра – отново на колкото поискаме. Винаги ще получим еднакви половини, защото всички точки са на същото разстояние от центъра. Броят на всички преображения, които оставят сферата непроменена, е редът на нейната симетрия. Така симетрията на сферата е безкрайна и тя е съвършената фигура.

Симетрията на сферата е съвършенството на пространството:

Самото пространство има пълната симетрия, съответстваща на групата на всички автоморфизми (1), на всички подобия.

Тук думите на средновековния философ добиват своя смисъл. Бог е сфера, чийто център е навсякъде, а обиколката ѝ – никъде. Законите, постановени от него важат при всяко преображение – отражение, завъртане, или преместване (транслация). Силата на гравитацията между две тела зависи от разстоянието, но не и от ориентацията на телата, нито от това къде са те в пространството, доколкото няма наблизо други тела, с които неизбежно да възниква привличане. Космосът на Вайл е наследник на космоса на Питагор. Космос означава „ред“, подреденост, съгласуваност. Музиката на небесните сфери, разбирана от питагорейците като ред, предизвикан от разума-творец е съвкупността от всички разумни действия. Музиката, това е всичко, което музите покровителстват, от любовната поезия (Ерато), през трагедията (Мелпомена), до геометрията, астрономията и висшите прояви на ума (Урания). Вайл е покровителстван от Урания, под чиито напътствия участва в улавянето на симетриите на света и физическите закони, като елементи красота, умъртвени с карфици и забодени в математическия хербарий на алгебрата.

 

Математическият хербарий

Всяка симетрия наподобява пеперуда, защото претърпява много метаморфози. Започва като нагледна представа от изкуството (Фиг.5), минава през стадия на буквените означения, за да се превърне накрая в абстрактна релация. Двустранната симетрия, или еднаквостта при отражение, се превръща в запазването на корените на квадратното уравнение, когато ги разместим:

(2)

Тъй като x1+x2 и x1∗x2 запазват своите стойности, ако разменим местата на корените (3+4=4+3, 3∗4=4∗3), тези два израза са симетрични функции. Можем да разменим левия с десния корен, без да променим коефициентите на квадратния тричлен. Тези размествания наричаме пермутации, а групата, която съдържа разместването и запазването (неразместване) е пермутационна група от ред 2. Пермутациите на буквите в думата „хубав“ образуват група от ред 120 – по толкова начини можем да разместим буквите от нея и само 5 от тях са ротации – „вхуба“,“авхуб“,“бавху“, “убавх“, „хубав“… Съвкупността от тези думи се нарича група, защото всяко разместване на букви дава дума от нея. И обратното, естествените числа не са група по отношение на изваждането, защото ако извадим 5 от 4, ще получим неестествено число. В групата всяко действие е обратимо. Винаги можем да направим ход назад и да се озовем там, където сме били.

Двустранна симетрия при сфинксовете от двореца на цар Дарий I, Суза.Фигура 5. Двустранна симетрия при сфинксовете от двореца на цар Дарий I, Суза.

 

Това, което природата създава, алгебристът забожда със символи и поставя в каталога на абстрактните обекти, като в математически хербарий. Така въртенето на правилния многоъгълник и способността да се реши уравнение от степен, равна на броя му върхове (Фиг.6) се оказват просто шарки на крилете на пеперуда, чиято природа е да остане затворена във въображаемото.

Корените на уравнението x^17-1=0 са върховете на правилен седемнадесетоъгълник, хептадекагон. По хоризонталната ос са реалните числа, а по верикалната ос са имагинерните. Имагинерната единица, повдигната на квадрат дава отрицателно число i^2=-1. В равнината са числата, които са сбор от реални и имагинерни.Фигура 6. Корените на уравнението  са върховете на правилен седемнадесетоъгълник, хептадекагон. По хоризонталната ос са реалните числа, а по вертикалната ос са имагинерните. Имагинерната единица, повдигната на квадрат дава отрицателно число . В равнината са числата, които са сбор от реални и имагинерни.

 

В групата от експонати намираме орнаментите от килимите, мотивите от изкуството (Фиг.7), изобразяващи преместването напред, съчетано с отражение, или по-простите, в които има само преместване (Фиг.8). По-сложни и красиви са мотивите с преместване и две, взаимно ортогонални отражения (Фиг. 9). Преместването, завъртането и отражението описват кристалните решетки на атомите, действието на физическите закони напред и назад във времето, което е част от пространството (в него има отражение, но не и завъртане). И доколкото симетриите във физиката са почти пълни, съвършенството примамва ума със своята простота и оттам – с безпределна красота.

 

Мотиви от гръцкото изкуство с транслация и отражение (фиг.23 в „Симетрия“).Фигура 7. Мотиви от гръцкото изкуство с транслация и отражение (фиг.23 в „Симетрия“).

 

 

Гръцки мотиви с транслация.Фигура 8. Гръцки мотиви с транслация.

 

Българска народна шевица с транслация и две отражения – вертикално и хоризонтално.Фигура 9. Българска народна шевица с транслация и две отражения – вертикално и хоризонтално.

 

 

 


 

(1) Ротации, или отражения, при които сферата се преобразува в себе си.