Ние почитаме древна Гърция като люлката на западната наука. Там за първи път е била създадена геометрията на Евклид – това чудо на мисълта, логическа система, чиито изводи следват един от друг с такава точност, че нито един от тях не е бил подложен на каквото и да било съмнение. Това най-удивително произведение на мисълта е дало на човешкия разум онази увереност в себе си, която му е била необходима за неговата последвала дейност. Не е роден за теоретически изследвания този, който на млади години не се е възхищавал от това творение.

Алберт Айнщайн,

„За метода на теоретичната физика“(1)

 

Истории в математиката

При изложението на Евклид всички разсъждения протичат в една и съща посока: от данните към неизвестното в задачите за намиране и от предположението към заключението в задачите за доказване. Всеки нов елемент – точка, права и т.н. , трябва да се получи коректно от данните, или от елементи, изведени в предишни стъпки. Всяко ново твърдение се изучава, когато се срещне за пръв път, и с това то се изучава само веднъж; ние можем да концентрираме цялото си внимание върху настоящата стъпка, а не да се оглеждаме назад или напред. Най-последният нов елемент, чийто извод трябва да проверим, е неизвестното. Най-последното твърдение, чиито заключения трябва да проучим, е заключението. Ако всяка стъпка е правилна, включително и последната, правилно е и цялото разсъждение.

Дьорд Поѝа,

„Как се решава задача“

 

Всяка математическа теорема е част от една история, а авторът е нейният разказвач. Има два основни начина да се предаде една история – както се е случила, или както се записва в историческата хроника и литературния разказ. В този втори случай има нещо, което Насим Талеб нарича заблуда на наратива – погледът назад във времето напасва историята към нашето разбиране за причинност и превръща кипящия хаос на събитията и поредиците щастливи случайности в просто обяснен, линеен разказ. Най-простият пример: едно момче среща момиче, влюбват се, скарват се, сдобряват се и се женят. Или, група понятия в математиката се появяват ex nihilo, заедно с набора от аксиоми, изказват се твърдения и се доказват дедуктивно – с което се прикрива сложния творчески процес, чиято кулминация са самите определения, така както подхожда и Платон в диалозите си. Когато обаче предаваме една история така, както тя се случва, ние обитаваме един вид настоящето на откривателството.

Двата начина са така противоположни, както стохастичният или случаен процес и детерминистичното описание на едно движение. В единия случай, това, което предстои да се случи, е неизвестно и неопределено, пред нас стоят множество възможни сценарии за бъдещето; в другия – това, което вече се е случило, е единственото възможно в нашата Вселена. От една страна, всяко бъдеще има своя собствена Вселена и свой собствен сценарий. От друга, всяка история се нарежда в края, сякаш е била планирана от началото, а във всяко начало стои семето на неопределеността. Първият начин на предаване на историята държи нейния край в неизвестност до самата развръзка; вторият начин държи самата история в неизвестност, докато не дойде завръзката – краят, който осмисля началото. Първият начин е този, който Учителите дават на учениците си, за да разберат те историята, която четат, преди да стигнат края, защото математическите истории са трудни за четене, когато не могат да бъдат осмисляни по време на самия прочит. Вторият начин е историята, разказвана от Евклид, метод на 2300 години. Тази история притежава студената красота на кристалите и снежинките. При нея има симетрия между съдържание и структура, което я осъжда на възхита отдалеч – и тя бива или четена отчасти, или препрочитана многократно.

Изложението на Евклид прилича на строежа на къща, за която само архитектът знае каква ще бъде, докато не завърши строежът. Първа книга започва с 23 дефиниции и пет постулата. Те са основите, на които къщата се строи. Те трябва да бъдат приети за верни, за да може с помощта на дедукция от тях да се докажат серия от твърдения, всяко от които изражда част от къщата. Всяко определение, всеки постулат е една малка загадка, която трябва да бъде разкрита от читателя едва след като е прочел „Елементи“ на Евклид – те са като тухлите, чието предназначение строителят ще разбере едва когато къщата е построена и разбере кои стени ще бъдат носещи и кои – не.

Още първите дефиниции въвеждат загадки, които могат да бъдат разбрани на определено ниво наистина едва след цялостното прочитане на „Елементи“ на Евклид. За по-дълбоко разбиране е нужно изследването на великите задачи на Античността, като квадрирането на кръга, удвояването на куба и трисекцията на ъгъла:

Дефиниции (1)

  1. Точка е това, което няма части.
  2. Линия, това е дължина без широчина.
  3. Краищата на линия са точки.

 

Тези определения поставят двойна загадка: защо са написани и какво означават.

Така, както на начинаещия чирак, комуто връчат мистрия, хоросан и тухли и той вече знае какво са, но не и за какво служат, така и на начинаещия в геометрията се връчват тези три дефиниции, без той да разбира дългия мисловен път, довел до тяхната формулировка и какво би следвало, ако те липсваха. Какво би станало, ако точките имаха части, а линиите имаха широчина? Как бихме построили правоъгълник, чиито линии са правоъгълници, завършващи в окръжности? Ще трябва да включим и тези правоъгълници в изчислението, а те на свой ред имат свои линии, които ги изграждат, които на свой ред имат широчина и са правоъгълници, които трябва да включим в изчисленията… и така до безкрая. Получава се фрактал с безкрайна обиколка, вместо правоъгълник. За физиците, работещи в квантовата механика, тази фрактална рекурсия е до болка позната. Именно тази „физическа“ картина на света избягва математикът, когато абстрактно определя точките като лишени от части, а правите като лишени от широчина и височина, характеризиращи се с една-единствена мярка: дължината. Само така може той с краен брой действия да начертае „съществуващото“, както Платон го нарича , следвайки повелята на Аристотел да избягва актуалната безкрайност, неподдаваща се на логиката на човека. Абстрактното не е лишено от смисъл, защото самото то поражда смисъла. Идеята за къща е смисълът на къщата, но идеите са неделими, а чиракът строи сенките им тухла по тухла, за да ги види чак накрая. Това е историята, разказвана от Евклид. Тя е особеният вид поезия на паметта, която съшива в едно платно всички случайности на живота, изплитайки нишката на достоверната лъжа, наречена „хроника“.

Фигура 1. Пирамида, съставена от пирамиди, съставени от пирамиди… до безкрайност. Фракталната физическа картина на света.Фигура 1. Пирамида, съставена от пирамиди, съставени от пирамиди… до безкрайност.
Фракталната физическа картина на света.

 

 

Разум и интуиция

 

Евклидовият начин на изложение обаче не може да се препоръча безрезервно, когато целта е да се сподели едно разсъждение с читател или слушател, който преди това никога не е чувал за него. Евклидовият начин на изложение е прекрасен за посочване на всеки конкретен пункт, но не е толкова уместен при показване на основната линия на разсъждението. Интелигентният читател лесно може да види, че всяка стъпка на разсъждението е правилна, но среща големи трудности при разбиране на нейния първоизточник, на предназначението ѝ във връзката ѝ с цялото разсъждение. Коренът на тази трудност се крие в това, че изложението на Евклид твърде често протича в точно противоположния ред на естествения ред на откриването.

Дьорд Поѝа,

„Как се решава задача“

 

Математическата история така, както се е случила свършва там, където започва нейното хроникиране. Логическото и последователно изложение на системата на Евклид е образец на поезия (2), триумф на разума, послужил за образец на всички други науки и на философията през хилядолетията. Тя започва от определенията и принципите (дефинициите и постулатите) и завършва с теоремите, следващи строен ред до достигане на заветната цел – построяването на правилните Платонови тела, образците на съвършенството на мисълта. За читателя най-трудни за разбиране са определенията, които са венецът на математическата мисъл, родени след десетилетия опити, но представени като отправна точка за дедуктивните съждения.

Разумът тук се сблъсква с интуицията. Математиката е от света на идеите – безвременна и следователно съществуваща. Интуицията е от света на сетивното, на сенките в пещерата, които виждаме да се движат. Интуитивно не разбираме това, което разумът ни представя в своята студена логическа красота. Липсва огънят, който да хвърли сенките и да превърне в музика поезията.

Фигура 2. Платоновите тела, Augustin Hirschvogel, True and Thorough Instruction in Geometry (Ein aigentliche und grundtliche anweysung in die Geometria), 1543 г.

Фигура 2. Платоновите тела, Augustin Hirschvogel, True and Thorough Instruction in Geometry
(Ein aigentliche und grundtliche anweysung in die Geometria), 1543.

 

Огънят бива запалван от Учителя. Според Платон, нищо не може да замести устната традиция в предаването на идеи от поколение на поколение. С прекъсването на веригата в залеза на Елинистичната епоха, спира и разцвета на математическата наука за цяло хилядолетие. Завръщането на масовото образование по математика през 19-ти век връща и традицията на устното обяснение, на интерпретацията на текста. Математиката не се отличава от литературата, тя също превръща читателя в тълкувател. Формалните логически системи имат много възможни интерпретации поради своята абстрактност. Системата на Евклид може да се тълкува като чиста еманация на логическата мисъл, но и като дял от физиката, и оттам да придобие различно значение. Като логическа система, тя има нужда от петия постулат за успоредните прави, за да се докаже теоремата на Питагор; като отражение на физическия свят, този постулат не е необходимо да е верен – неговото нарушаване създава елиптичната и хиперболична геометрии. И ако хиперболичната геометрия е логически непротиворечива, само когато и Евклидовата геометрия е такава, от логическа гледна точка тя не е така необходима, както от физическа. Така математическата критика, също както литературната, може да спори защо Евклид е предпочел този постулат за успоредните прави, въпреки доброто антично познание на сферичната геометрия, в която успоредните прави са големи окръжности, пресичащи се в две точки, като меридианите в северния и южния полюс. За целта на тълкуването обаче, първо трябва да се разбере смисъла, а той следва обратната посока на Евклидовия разказ. Това е целта на немската школа в математиката на 19-ти и 20-ти век, ярък представител на която е Ричард Курант, един от големите ученици на Хилберт и голям учител.

 

Стил и смисъл

 

Това е абстрактната формулировка на граница на редица. Не е чудно, че който се сблъска с нея за първи път, не може да я схване за няколко минути. За нещастие налице е едно отношение, граничещо със снобизъм, на някои автори на учебници, които поднасят на читателя тази дефиниция без грижлива предварителна подготовка, като че ли едно обяснение е под достойнството на математика.

Ричард Курант, „Що е Математика?“

 

Фигура 3. Ричард Курант, ученик на Хилберт, основател на института „Курант“ в Ню Йорк.Фигура 3. Ричард Курант, ученик на Хилберт, основател на института „Курант“ в Ню Йорк.

 

Абстрактното обосноваване на математиката води и до абстрактното ѝ преподаване, което не само е лишено от смисъл, а и не води до смисъла. Ричард Курант пише в предговора на книгата си:

Понякога обучението по математика се изражда във формално и шаблонно решаване на задачи, с което се развива формално умение, но не се достига до по-дълбоко разбиране или до истинска свобода на мисълта.

Курант е математик от немската школа на 19-ти век, създала математици, които са по-скоро философи, отколкото логици, по-близо до Рене Декарт, отколкото до Бъртранд Ръсел. Те се отличават като добри писатели и преподаватели, като Давид Хилберт, Херман Вайл и Феликс Клайн – толкова добри в обяснението на смисъла, колкото и в неговото създаване. По думите на Феликс Клайн, предадени ни от Курант:

Все по-ясно ми става, че ако игнорираме далечните перспективи, то и чисто научното творчество ще пострада, и че научното творчество, откъснато от многостранното, животрептящо общо духовно развитие, е осъдено да линее, както линее растение, поставено на тъмно и лишено от слънчева светлина.

Целта на Курант е да предаде това разбиране за математиката на широката публика, затова написва заедно с Хърбърт Робинс книгата „Що е математика?“. Историята на математиката е органична, с движение от конкретното, интуитивното и физическото, през примерите и контрапримерите, до общото, абстрактното и формалното. Грижливо подготвените от Курант обяснения на абстрактните твърдения, като това за граница на редица, приличат на устната традиция на древността, напълно отсъстваща от „Елементи“ на Евклид. Чиракът първо разбира какво е къща, как тя се изгражда, за да е устойчива, да пази от горещина и студ – затова тя е направена от тухли и затова те се редят така, както са му показали. Чак след това, той започва да строи, като във въображението му къщата е вече построена и той въплъщава една идея, която е осмислил. Курант прави същото на всяка страница на тази книга, която показва голямата картина на математическата мисъл, включваща и нагледното, и строгото, и въображението, и логиката от всички нейни дялове. Образец на този подход е обяснението, което Курант дава на границите на редици и на непрекъснатостта – две сложни за разбиране понятия, за които интуицията за движение ни подвежда. Понятия, израснали още като отговор на парадоксите за движението на Зенон, доколкото такъв е възможно да се даде.

Деф. Редицата a1, a2, a3 има граница a, когато n расте неограничено, ако на всяко положително число ε, колкото и да е малко то, може да се съпостави естествено число N (зависещо от ε), такова, че:

За всяко n ≥ N

Както и Курант описва дефиницията, това е форма на математическа игра между двама души, А и B. Тук ще дадем наше обяснение. А поставя изискване редицата от числа an да се доближи на определено разстояние ε от числото a (например на по-малко от ε = 1⁄10). Тогава B търси по редицата a1, a2, a3 от кой член нататък всички числа от редицата ще изпълнят условието на А, без никое следващо да остане отвън. Това е числото N и то зависи от условието, което А е поставил. След отговора на B, А вдига мизата – вече иска по-голяма близост на членовете на редицата a1, a2, a3 до a, например до ε = 1⁄100. Тогава B търси по-усърдно и намира всички членове на редицата, които да го изпълнят, като стига по-далеч отпреди по нея – така числото N се увеличава. Граница съществува, ако B спечели играта, а той я печели, ако тя продължи неограничено и той винаги е способен да отговори на залога на A. Играта прилича на „Дай, Бабо, огънче“, като B печели играта, ако никога не бива изяден. В тази игра, каквото и изискване да постави A, където и да тегли чертата, от някой член на редицата нататък всички ще я прекрачат и най-много краен брой от тях ще останат под нея, а какво е крайното в сравнение с безкрайността? Представете си редицата от дроби ½ , 1⁄3, ¼,…. Границата a се изписва и като: Играчът B твърди, че е 0. Тогава А му казва да намери от кое число нататък всички ще са по-близо до 0 от 1⁄10. Много лесно B ще намери отговора – за N = 11 и 1⁄11 ще е по-малко от 1⁄10 и следователно по-близко до 0, а всяко следващо число ще е по-малко от него (защото всяко е по-малко от предишното). Ако А повиши мизата до 1⁄100, B, ще отговори с N = 101 и 1⁄101 et cetera (Фиг. 4). Можем да кажем, че играта на А и В продължава и до днес и само крайно много числа остават всеки път като бележка под чертата на историята. Тази игра има потенциала да продължи вечно – безкрайността не е нещо завършено, както настояват да се разсъждава Аристотел и Гаус. Така, в една алегория за познанието, границата е нещо, към което се стремим, но никога не постигаме.

Не всяка игра има този щастлив, (потенциално) безкраен резултат – в редицата 1,-1,1,-1… не можем да кажем, че границата е 1, или -1, защото половината членове ще останат на разстояние ε = 1, а половината на безкрайното отново е безкрайно (Фиг. 5). Може ли цялата редица от числа от дадено място нататък да се представи с едно число? Това е въпросът, на който границата дава отговор. Математиката без граници не съществува, тя е опитът да се обхване необхватното, да се сведе безкрайността до крайния разум на човека. Без границите не можем да обосновем непрекъснатостта, а без нея движението не може нито да се осмисли, нито предскаже. Математиката без граници ще е завинаги в плен на статичността, отвъд времето и възможностите да разбере движението в света. Основите на теоретичното разбиране на познаваемия свят се крият в определенията за граници.

Фигура 4. Редица, с граница 0 – колкото и да стесняваме широчината на сините линии (т.е. да намаляваме ε),
редицата от даден член нататък ще влиза между тях и ще остава между тях завинаги.

 

Фигура 5. Редица без своя граница – тя приема стойностите -1 и 1 и не се стреми към едно число – под определена широчина на сините линии (и за ε под единица), всички членове на редицата остават отвън.

 

Забележително е, че движението напълно отсъства от тази игра. Целта е да се избегнат парадоксите на Зенон в логическото обосноваване на най-важните понятия в съвременния анализ – граници и непрекъснатост. Както Курант пише:

Съществува определена психологическа трудност за пълното схващане на това точно определение за граница. Нашата интуиция подсказва „динамична“ идея за граница като резултат от процес на „движение“: ние се движим по редицата от естествени числа 1,2,3….n и наблюдаваме поведението на редицата a1, a2, a3 an Имаме чувството, че доближаването a → an трябва да бъде видимо. Но това „естествено“ очакване не се поддава на ясна математическа формулировка. За да стигнем до тази дефиниция, трябва да обърнем реда на стъпките; вместо отначало да разглеждаме независимата променлива , а след нея зависимата променлива an, трябва да основем дефиницията си на това, което искаме да направим, ако наистина желаем да проверим твърдението a → an

 

В апориите на Зенон се крие проблемът как да намерим съседната точка на тази, в която е стойността на една функция на реално число – винаги има по-близка точка, по-близко число. Кое е следващото реално число след 0 – 1⁄10, 1⁄100, 1⁄1000…? Как тогава да преминем от една точка до друга, да прескочим безкрайността? Отговорът е, че никога не сме се опитвали, защото не можем:

Наистина, точките върху правата образуват гъсто множество и никоя достигната точка не достига непосредствено следваща. Разбира се, интуитивната представа за континуум има психологическа реалност за човешката мисъл, но тя не може да помогне за решаването на математическата невъзможност. Трябваше прочее да остане несъответствие между интуитивната идея и математическия език, предназначен за описване на научно присъщите особености на нашата интуиция с точни логически термини. Парадоксите на Зенон са ясно указание за това несъответствие.

Ричард Курант, „Що е математика?“

Естествената интуиция от физическия свят няма място в света на идеите – там тя е изгонена още от Платон и всички математици, без Нютон, се придържат към гледане на истински съществуващото, вечното и непроменливото. Така и дефиницията за граница на Коши връща анализа на движението, изхвърлен от Зенон от математиката и философията, като го свежда до статична ситуация, в която движение няма. Математическата история се формира чрез движение, на материята и на мисълта, но се описва без него – дали ще пропуснем да опишем движението определя какъв ще бъде нашият стил в математиката. Движението на мисълта, с което описвахме значението на дефиницията за граница на редица, е в рязко противоречие с нейната Платонова същност; защото ние сме във времето и то е в нас, ние сме сенките на вечно съществуващото, а никоя сянка не може да види огъня, който я хвърля. Смисълът на идеята възприемаме не като я делим на части – тя е неделима; възприемаме я чрез нейната непрекъсната поява и оформяне като нововъзникващ живот – и нашето разбиране за нея също е живо.

 


Източници:

Р. Курант, Х. Робинс, прев. Ив. Димовски и Ив. Чобанов, „Що е математика?“, изд. „Наука и изкуство“, 1967 г.

„Айнщайн, за физиката, физиците и себе си“, прев. Петър Райчев, изд. „Наука и изкуство“, 1985 г.

Ф. Клайн, „История на математиката през XIX век“, изд. „Наука и изкуство“, 1973 г.

Д. Поѝа, „Как да се решава задача“, изд. „Народна просвета“, 1972 г.

Н. Талеб, „Черният Лебед“, изд. „Инфодар“, 2008 г.


(1) „Айнщайн – за физиката, физиците и себе си“, прев. Петър Райчев, изд. „Наука и Изкуство“, 1985 г.
(2) Боряна Нейкова, поетеса, след запознаване с концепцията за съвършено число.