Не в пространството трябва да търся достойнството си, а в добре организираната си мисъл. Колкото и земи да владея, няма да стана по-богат; чрез пространството природата ме обхваща и поглъща като точка, докато чрез мисълта си аз обхващам Вселената.

Блез Паскал, „Мисли“

 

Безкрайността и безграничното

Големият математик Херман Вайл започва своето есе „Нива на безкрайност“ така: „Математиката е наука за безкрайното“. Малко са началните изречения в литературни творби, които да носят толкова сила и така категорично да установяват линията на мисълта. Математиката като наука, а и като изкуство, се отличава от природните науки по това, че приема безкрайността и работи с нея като един от многото абстрактни обекти, сред които целите числа – първите абстрактни обекти, за които се сещаме – заемат само малка част.

Безкрайността обаче не е просто част от математиката, по същия начин, по който разумът не е просто част от душата – тя е нейното сърце. Безкрайността се среща в явна и неявна форма в твърдения като „Сборът от ъглите на триъгълника е 180 градуса.“ Това е твърдение за всички триъгълници. Демокрит пък съвсем откровено заявява: “Ще говоря за всичко.” А приложена в природните науки, математиката е удивително ефективна именно защото, както отбелязва Нобеловият лауреат по физика Юджин Вигнър, на основата на безкрайните множества, с всичките техни привидни парадокси, тя описва реалния свят толкова добре.

Трудно е да се осмисли безкрайното от човешкия ум. Платон го свързва с неограниченото и неопределеното (апейрон – ἄπειρον), Аристотел разграничава два вида безкрайност – потенциална и актуална, а Кантор прави разлика между безкрайното и абсолюта. Съществуват и хора като Мохамед Абабу, които твърдят, че безкрайност не съществува изобщо и числата имат край. Паскал си задава въпроса как е възможно човекът да е едновременно толкова нищожен и величав, притиснат между двойната безкрайност на малкото и голямото; Борхес пише за библиотеката, която съдържа всички книги, написани и ненаписани. Шекспир пише за безкрайността, която се побира в дланта на поета:

О, боже, аз бих могъл да седя затворен в орехова черупка и пак да се чувствам владетел на безкрайни простори!

Но какво представлява безкрайността сама по себе си? Може да се твърди, че математиката е възникнала при опита на крайния ум да овладее безкрайното. Най-чудното свойство на ума, според Роджър Пенроуз, е способността му да осъзнае твърдения като това, че сборът на две нечетни числа не може да даде нечетно. Просто като 1 + 1 = 2 (доказано на 500 страници от Ръсел и Уайтхед в Principia mathematica), но обхващащо безкрайността и записано чрез езика на математиката:

(2k + 1) + (2n + 1) = 2(k + n) + 2 = 2(k + n + 1)

Tук буквите са начинът да запишем всички твърдения за сбора на две нечетни числа, например:

(2.1+1) + (2.3+1)=3+7=2(1+3+1)=2.5=10

или (2.5+1)+(2.2+1)=11+5=16

Това не може да се установи с директна проверка на сбора на всеки две нечетни числа – проверка, която никога няма да спре, защото никога няма да се натъкне на сбор нечетно число. По същия начин машината на Тюринг изчислява безкрайно в опита да докаже, че едно невярно твърдение е невярно, търсейки контрапример [1]. Така именно безкрайността отличава математиката от простите алгоритми за пресмятане, които учим в училище. Математиката, също както поезията, се стреми да обхване безкрайното с краен брой букви, но за разлика от нея успява, защото има на своя страна силата да доказва. Поезията използва езика, за да създава светове. Математиката създава сама безброй абстрактни светове – светове от много измерения, много повече от 3 или дори безкрайно много, подчинени на закони, които са логически допустими, но на които реалният свят не се подчинява. С други думи, можем да построим свят, в който 2+2=5. Преводът на поезията от един език на друг е пресъздаване, творчески акт, според Умберто Еко. Математическият език обаче е един – и хора на хиляди километри и стотици години един от друг го преоткриват по един и същи начин. Паскал като дете преоткрива първите 35 теореми на „Елементи“ на Евклид, без да е виждал книгата. Хиляди деца преоткриват метода на Декарт за решаване на текстови задачи чрез уравнения, когато се състезават. „Всички щастливи семейства си приличат, всяко нещастно семейство е нещастно посвоему“ – пише Толстой в „Ана Каренина“. Всички математици по света си приличат, а всеки поет е поет посвоему. Симетрия срещу асиметрия.

Математическото понятие за безкрайност разделя неограниченото от безкрайното, с което подпомага и развитието на естествените езици, конкретизирайки значенията на думите. Повърхността на Земята например е с крайно лице, но можете да пътувате неограничено по нея, защото тя се затваря в себе си. Крайна, но неограничена е ореховата черупка на Хамлет. Крайно е и времето, с което разполагаме, но е безкрайно делимо. „Винаги има време за още един последен момент.“ Тази реплика на Смърт у Тери Пратчет е кредото на Християнството, което си служи с безкрайното чрез схоластиката [2]. За Християнството не съществува изразът „твърде късно“, също както в математиката не съществува „твърде голямо“ или „твърде малко“. Трудно е да бъдеш добър Християнин, когато не знаеш кой е твоят най-ближен, защото винаги има по-ближен във всяка околност, която избереш. Трудно е да има по-голямо число от най-голямото естествено число – най-вече защото най-голямо естествено число няма.

И все пак в безкрайността дебнат изненади.

 

Потенциалност и актуалност

Протестирам срещу употребата на безкрайната величина като нещо напълно завършено, което никога не е допустимо в математиката. Безкрайността е просто за удобство в разговора, истинското значение е границата, която някои отношения приближават неограничено близо, докато на други е позволено да растат неограничено. (К.Ф. Гаус в писмо до Шумахер, 12 Юли 1831)

Карл Фридрих Гаус, един от тримата най-велики математици след Архимед и Нютон, следва стриктно Аристотел и Евклид. Аристотел определя безкрайното като нещо незавършено, като нещо потенциално, но не и действително съществуващо – винаги има следващо число. Евклид изгонва безкрайното още с постулатите си, за да избяга от апориите на Зенон. Архимед прави същото, когато се заема да преброи песъчинките в една крайна Вселена – а дали Вселената е крайна или безкрайна, не можем да кажем без математиката, защото никога няма да стигнем края ѝ, ако такъв не съществува. По подобен начин мисли и Демокрит, който определя атомите като основните единици на материята – неделимите, случайно блъскащи се топчета, създаващи реалността. Той стига до крайност в отхвърляне на актуалността на безкрайността.

Ето какво пише Аристотел („Метафизика“, книга 3, глава 6):

Сега, както видяхме, величината всъщност не е безкрайна. Но чрез разделяне е безкрайна.  … Тогава остава алтернативата, че безкрайността има потенциално съществуване.

За всички тези мислители (с изключение на Демокрит) безкрайното не е нещо, което можеш да достигнеш, то просто означава липса на граница. Дълговете могат да растат неограничено – дотам, че Файнман да нарече броя на звездите в Млечния път „икономическо число“, но те не могат да бъдат безкрайни. Правите у Евклид не са безкрайните линии, с които работим днес, те са отсечки, които биха могли да се продължат:

И всяка права може да се продължава неограничено. (Втори постулат на Евклид)

Безкрайното е неопределено – то абсорбира в себе си всичко крайно. Не можеш да добавяш и да изваждаш от него. Така поне мислят древните.

Но не и Георг Кантор:

Страхът от безкрайното е форма на късогледство, която унищожава възможността да се види актуално безкрайното, въпреки че в своята най-висша форма то ни е създало и ни поддържа, а в своята вторична трансфинитна форма се среща навсякъде около нас и дори обитава нашите умове.

Георг Кантор, възпитаник и наследник на схоластиката, различава два вида безкрайност – трансфинитната безкрайност и абсолюта. Трансфинитните числа са по-големи от всички крайни числа, но не са „абсолютно безкрайни“, защото към тях може да се добавя стойност и с тях може да се прави особен вид аритметика. Аболютът, от друга страна, Кантор отъждествява с Бог и той е неспособен на каквото и да е нарастване. Кантор въвежда понятието за ординални числа, които идват след естествените. Те указват поредността на елементите в едно множство – третият стол отляво надясно, петнадесетият ден на месеца и т.н. В крайните множества кое поред е едно число и колко е голямо множеството от числа по-малки от него е едно и също – четиридесетото число от 1 нагоре е 40. А как така „след естествените числа“, ще запитате? Нали те нямат край, нали няма най-голямо естествено число?

Кантор въвежда ред в числовата система – ординалните числа служат за изброяване на елементите в едно добре наредено множество, в което знаем мястото на всеки елемент. Те служат за указание каква е поредността на елементите – първи, втори, трети … (Кой е наред?). А какво означава да има ред – това е да се знае най-малкото число във всяко подмножество – красив начин да се каже, че можем да сравняваме числата по големина. А това сравнение не е даденост в математиката, както доказва Хилберт – най-големият поддръжник на Кантор („Никой няма да ни изгони от Рая, който Кантор създаде.“). Не навсякъде цари ред – има видове числа като комплексните [3], които не могат да се сравняват по големина. Там, където цари ред, всяко число има свой наследник – наследникът на 0 е 1, наследникът на 1 е 2… Всяко ординално число измерва дължината на множеството от ординалните пред него, както 42 указва броя елементи от 0 до 41 и всъщност е множеството, което ги съдържа. А първото трансфинитно ординално число [4] е множеството на естествените числа: 1,2,3… Омега тук не е краят, а началото – ω е първото число, за което няма „етикет“, няма номер от естествените числа (но ω е множеството, което ги съдържа всичките). След него са другите трансфинитни числа – ω+1,ω+2,….ω+ω=2ω. Оттук схемата продължава: 2ω+1,2ω+2,…2ω+ω=3ω – в безкрайния път към ω.ω=ω^2 и отвъд: ω^3, ω^4 … ω^ω. Тази кула от трансфинитности продължава до

Kоето в безкрайността на хиперстепенуването (число на степен число на степен число на степен число и т. н.) се превръща в нещо като граница в ε0 (епсилон нот) – първото трансфинитно число от нов вид – то не може да се получи чрез краен брой събирания, умножавания и степенувания от предишните ординални числа.

Идеята за числата като мярка за ред позволява на Кантор да създаде аритметика с трансфинитни числа, които нямат определен размер по начина, по който естествените числа имат. С тези числа можем да боравим, те следват аритметични правила, но не можем да смятаме или да посочваме конкретно количество. Те не са нито крайни, нито безкрайни. Идея, която би възмутила Аристотел, Архимед и всеки грък, разчитащ на своята интуитивна логика и на върховния закон за изключеното трето – може би най-важният пропуснат от нас досега аспект на гръцката култура.

И така, трансфинитните числа указват реда на безкрайните множества, но не и тяхната големина. Умът тук застива при опита да си представи как би могло 42 да обозначава дължината на редицата числа от 0, но да не е размерът на това множество. Кантор въвежда не само ε0, но и ℵ₀, Алеф-0 (aleph-нот – от иврит, първата буква). Алеф е по-голямо от Омега и не участва в неговите игри. Правилата, според които ω+1>ω , тук не важат. Защото ω всъщност е множеството на естествените числа {1,2,3….}, а ω+1 е това множество с добавено ω {1,2,3…. ω  }. Така множеството може да се разширява неограничено, до онази кула, след която идва епсилон нулево, което е недостижимо, ако просто тръгнем от 0 и използваме степенуване, събиране и умножение. И все пак те са с един и същи размер, защото за безкрайното множество размерът има по-различен смисъл.

 

Парадоксите на безкрайното

Същността на математиката е в нейната свобода.

Георг Кантор

Най-древното учение за числата е това на Питагорейците, за четното и нечетното – разграничение валидно и значимо и днес, защото четността и нечетността на броя протони и неутрони определя устойчивостта на химичния елемент, като ядрата с нечетните броеве са по-неустойчиви. И най-добрата съпоставка на безкрайното с крайното започва оттук. Ще запишем първите десет естествени числа и първите пет четни, останалото до безкрайност ще оставим за смирение на читателя:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

2,4,6,8,10

Две неща тук могат да направят впечатление – първото е, че долната редица участва и в горната, и съответно е по-малка; а второто е, че на всяко четно число от долната отговаря по едно число от горната. Формулата за четни числа  ни подсказва, че това важи и в двете посоки. Можем да кажем числото 100 кое по ред четно число е, като го разделим на 2, а можем и да намерим 60-тото четно число, като умножим 60 по 2 – така номерът на числото (редът му в редицата) и стойността му са взаимно еднозначно свързани. Всяко четно има точно един пореден номер – естествено число; и всеки пореден номер има точно едно четно. Това Кантор нарича равенство в размера на две множества. Дори когато са безкрайни. Особено когато са безкрайни. Дори когато едното е половината от второто. Сравни с Евклидовия постулат:

И цялото е по-голямо от частта.

Аксиома 8, Евклид, „Елементи“

Гореизписаните две редици биха могли да се наредят и по друг начин – всички четни от горната редица да се съюзят с четните от долната – все пак това са същите числа. Тогава нечетните ще останат сами – безкрайна редица от самота. За Кантор възможността за подобни нареждания не е от значение – за него е по-важно, че от всички възможни разклонения, историята има поне един happy end – така той е доволен от нея, като Демокрит, който си представя безкраен брой вселени, в които поне една е почти съвършена. С други думи, ако всичко е случайно и няма творец, всяка възможна вселена трябва да се появи някъде, за да я има тази една, в която от нищото се е появил разумът. Така отхвърлянето на природните закони допуска актуално безкрайното по необходимост. По същия начин и Кантор е доволен от единственото нареждане, с което може да сравнява безкрайните множества, а всички други неправилни нареждания са необходимото зло.

Галилей, от друга страна, не е мислел като Демокрит. За него взаимното еднозначно съответствие на две видимо различни по големина множества е доказателство, че безкрайност не съществува. В „Два нови свята“ той дава примера с естествените и квадратните числа.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25

1,2,3,4,5

Тук отново можем да кажем 25 кое поредно квадратно число е – петото, защото 52 = 25, както и кое е 100-тното квадратно число – 1002 = 10000. Отново можем да ги наредим в свещен съюз на равномощност, както в православна сватба, в която коронясват и двамата младоженци. Но първата редица числа, в която са нашите квадратни, изглежда обезпокоително – разстоянията между квадратните числа в нея растат, а те стават все по-малко и по-малко. От 0 до 10 квадратните числа са само 3 – 1,4,9. От 10 до 20 добавяме единствено 16. От 20 до 30 – единствено 25. До 100 са 10 квадратни числа. До 10 000 са 100 – защото 1002 = 10000. До един милион са само хиляда. До един трилион – един милион. В безкрайността съотношението между броя на квадратните и на естествените числа е като n / n2 = 1 / n – количество, безкрайно приближаващо се до 0. Квадратните числа са нищожна част от всички числа – и въпреки това двете множества са равномощни, заради възможността да ги наредим взаимно и еднозначно. Това обяснява и разликата между ординалността и кардиналността – реда и размера (различни по ред множества са равномощни). Това нареждане за Галилей е аргумент, че безкрайност не съществува – според него е невъзможно цялото да е равно на своя част. За Кантор обаче това е дефиницията за безкрайно множество – такова, което е равно на своя (правилна) част. Така се мени човешкият ум, когато се взира във вечно неизменчивото и вижда ту една негова сянка, ту друга, в опита си да проумее висши истини – и това, което е аргумент в полза за невъзможността нещо да съществува, за друг се превръща в дефиниция на същото нещо. Способността на ума е в неговата свобода.

 

Кула от безкрайности

Защото най-сетне какво е човек във вселената? Нищо – в сравнение с безкрайното, всичко – в сравнение с нищото, средина между всичко и нищо. Съвсем неспособен да разбере тия две крайности, целта на явленията и техните първоначала са за него непреодолимо скрити в непроницаем мрак; за него са еднакво непостижими и небитието, от което е възникнал, и безкраят, който го поглъща.

Блез Паскал, „Мисли“

Ординалните числа като ω, ω^2, ω^3…ω^ω и т.н. чак до , което в граница при безкрайно хиперстепенуване се превръща в ε0, които всъщност са множества, са относително малки числа, части от един специален вид безкрайност, наречена изброима. Това е този вид, при който бихме могли да сложим номер на всяко едно число, ако разполагаме с безкрайно време. А тази безкрайност е безкрайността на философите, на гръцките математици и на интуитивните човешки представи.

Кантор е първият, който, гледайки към Абсолюта, съзира безкрайност от по-висш порядък, толкова по-голяма, че е напълно несъизмерима с тази. Толкова голяма, че може да съдържа библиотеката на Борхес, с всички нейни книги, написани на безкрайно много варианти на азбуки и езици, без да усеща човек, че някакво „място“ от нея е заето. За целта Кантор си служи с представяне на числата като безкрайна серия от 0 и 1 и създава гениален аргумент, страховитото оръжие, което по-късно Гьодел ще използва, за да срине представите за тъждественост между истинност и доказуемост в математиката, що се отнася до твърденията, за които знаем, че са верни, но които не можем да докажем. Това е т.нар. Канторов диагонален аргумент, белкантото на математическото разсъждение. На Фиг. 1 е показана дъската, на която са двамата играчи – същите онези, за които разказахме в „Математика и стил“. Първият играч сервира безкраен списък с реални числа и твърди, че този списък ги съдържа всичките. Вторият изработва контрапример за реално число, което не е в списъка. Тогава първият го добавя в своя списък и играта започва отначало. Как точно се изработва контрапримерът? С четене по диагонала. От първото число взимаме първата цифра и я обръщаме (от 0 в 1 или от 1 в 0), от второто число взимаме втората и я обръщаме, от третото взимаме третата и я обръщаме, et cetera, et cetera… Съставяме число от тези цифри. Сега то се различава от първото по първата си цифра, от второто по втората си цифра, от третото по третата си цифра – различава се от всичките числа, въпреки, че те са безкрайно много. Така списъкът на реалните числа не може да се номерира – не може да се изброи. Играта продължава вечно, а безкрайният списък на реални числа е вечно непълен… А можем и да го наречем и празен – защото това вече е висш порядък на безкрайност – неизброимата. Тя е толкова голяма, че малката безкрайност заема почти нулева част от нея. Ако теглите от всички „реални“ числа случайно някое число и всички са с равна вероятност, то никога няма да извадите естествено число като 1, 2 или 3, защото те се „изгубват“ между реалните, които не са цели. Съотношението на размерите на малката спрямо голямата безкрайност дава 0, по-малко дори от съотношението на което и да е естествено число спрямо безкрайността, например 1 / ∞. А това, че вие можете да измамите и да извадите цяло число – това просто е невероятно, а ето, че е възможно!

Фигура 1. Диагоналният аргумент на Георг Кантор

 

Библиотеката на Кантор

В коридора има огледало, което удвоява съвсем вярно всичко видимо. Огледалото навежда хората на мисълта, че Библиотеката не е безкрайна (ако тя наистина е безкрайна, за какво е това илюзорно удвояване?); лично аз предпочитам да мисля, че шлифованите повърхности изобразяват и обещават безкрайност…

Хорхе Луис Борхес, „Вавилонската библиотека“

Георг Кантор успява да покаже, че реалните числа представляват една по-голяма реалност от тази на естествените числа. Кардиналността (размера) на естествените числа е нашият алеф-0 ℵ₀, който за разлика от ординалните числа-множества не може да расте. Добавянето на единица, или дори на още един алеф-0, или дори умножаването не го променят – ℵ₀ + 1 = ℵ₀ и дори ℵ₀ + ℵ₀, или ℵ₀.ℵ₀ = ℵ₀.

И все пак има по-голямо от него число – това е ℵ1 и ℵ₀ може да нарасне до него. Тайната е разкрита още от Платон в диалога „Парменид“, откъдето започва идеята за безкрайните множества и на когото Кантор е духовен наследник:

– Следователно всяка от тези две части пак ще съдържа и единното, и битието, и всяка част отново ще бъде съставена най-малко от две части. И на същото основание винаги ще бъде така: всяко нещо, което трябва да стане част, винаги ще съдържа тези две части в себе си, защото единното винаги ще съдържа битието, а битието – единното, така че, ставайки винаги две, то по необходимост никога не ще бъде едно.

– Напълно си прав.

– Няма ли по този начин единното да бъде безпределно множество?

– Очевидно.

Платон, „Парменид“, 142e-143a.

 

Всяко едно множество, като това на числата до 5 – {1,2,3,4,5} (множествата се обозначават с къдрави скоби), може да се раздели на части. Всяка негова част се нарича подмножество. Празното множество е едно такова подмножество – {∅} (забележете алогичното присъствие на символ за празнота). Такива са и множествата {1,2}, {3,4,5}, на четните и на нечетните числа {2,4,6}, {1,3,5}, на простите числа {2,3,5}. Колко биха могли да бъдат? Отговорът е даден от Платон, но може да бъде разбран отново чрез нули и единици. Ако направим една табличка с всички елементи на множеството и на горния ред напишем 0 (НЕ) или 1 (ДА) в зависимост от това дали влиза или не влиза в конкретното подмножество, ще получим двоичните числа на дигиталната епоха.

 

Таблица 1. Подмножеството на простите числа {2,3,5}.

0 1 1 0 1 Участие -ДА/НЕ
1 2 3 4 5 Елемент

 

Колко такива числа можем да имаме в двоичен вариант – всяка цифра може да има по 2 стойности, затова всички възможни комбинации от 00000 до 11111 са 2x2x2x2x2 = 25 – или 32. Множество с 5 елемента може да има 32 подмножества. Множество с 10 – 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 210. Множества с n елемента – 2n. А множества с безкрайно много елементи, които можем да „оженим“ за естествените числа? Множеството от всички възможни подмножества на множеството на естествените числа се записва с редица нули и единици с дължина ℵ₀ и се оказва с размера на голямата безкрайност на реалните числа 2ℵ₀=|ℝ|. Това обяснява защо Кантор успява с помощта на 0 и 1 да докаже, че реалните числа са неизброимо много. Всяко реално число е безкрайна редица от нули и единици (друг начин да представим безкрайната десетична дроб като 1245,010204566…). Всички възможни комбинации от цифрите 0 и 1 при ℵ₀ цифри са 2ℵ₀. И така всички реални числа са колкото всички подмножества на естествените числа.

Забележете, че това равенство 2ℵ₀=|ℝ| [i]  не важи за реда при тези множества, за ординалните числа 2ω = ω, следствие на онзи тип „парадокс“ или неинтуитивното, заради които Галилей не вярвал в безкрайността. Ординалните числа подлежат на увеличаване и от ω можем да преминем към ω+1, защото тези числа са всъщност множества и ω+1 съдържа в себе си ω. Кардиналните числа не подлежат на тези правила, защото те не са множества, а представляват техните размери, но не разбирани както при крайните множества. Две различни безкрайни множества могат да се съпоставят едно към едно и оттам да са с равен размер, както направихме с четните и естествените числа. Така Алеф-0 се оказва по-голям от Омега, а абсолютът е с размера на реалните числа ℵ1 (ако приемем хипотезата за континуума – за повече виж нашия “Отговор”). Изглежда не съществува по-голяма безкрайност от тази на реалните числа и съответно, по-малка реалност. Или съществува? В тавана на Кантор се крият много по-големи кардинални числа от размера на реалните, по виещата се стълба отвъд най-смелите полети на логиката, чак до формалните системи, чиято непротиворечивост се разпада под напора на въображението на математика, побрало небесата в своята глава (по Честъртън) [5].

Страхът от безкрайното е сила, движеща велики учени към рационалното, към съизмеримото. Изпадайки в крайности, те изпадат от безкрайността, която е истинското наследство на математика. Но как така се страхуваме, ако не съзнаваме каква опустошителна бездна стои между интуитивната ни представа за безкрайното и Абсолюта?

Диагоналният аргумент на Кантор, безжалостен като замаха с меча на римския легионер срещу разгневилия го с непокорството си Архимед, разкрива и други странности на безкрайното. Квадратът например има също толкова точки, колкото и всяка негова страна. За целта трябва да свържем еднозначно всяка точка от страна на квадрата с точка от неговата вътрешност. Достатъчно е да вземем координатите на точка, например 0.555, 0.777 по x и y, и да направим ново число, при което цифрите да се редуват – и то ще е вътре в квадрата, защото по големина ще е между тях – 0.5757575… (Е от фигура 1). Така на всяка точка от квадрата има по една точка от негова страна и на всяка точка от тази страна ще има една точка от квадрата. Хъмпти-Дъмпти може също толкова лесно да се разглоби, както и да се сглоби – една от разликите между математическия свят и реалния, които правят описанието му чрез математиката толкова удивително..

Фигура 2. Квадратът на Кантор

Така и кубът има също толкова точки, колкото една отсечка – и това важи и за тесеракта (Фиг.3) и за хиперкубове във всеки краен брой измерения.

 

Фигура 3. Тесеракт – или триизмерната проекция на четиримерен куб. N-мерният хиперкуб се оставя на въображението на читателя

 

Библиотеката на Кантор, съдържаща всички книги с безкрайна дължина и с азбука с безкраен брой букви, изглежда „по-реална“ за математика от тази на Борхес, безкрайно по-голяма и могъща. Библиотеката на Борхес съдържа всички книги, писани някога, а те не могат да съдържат в себе си числата и буквите от библиотеката на Кантор. С една азбука от 25 букви и книги със страници до 410, могат да се напишат безкрайно много книги, но те могат да се каталогизират. Всяка истинска библиотека е именно това – подредена колекция от книги. Можем да номерираме всяка буква от всяка книга и да ги подредим в един безкраен списък първо книга по книга, после буква по буква в книгата.

От всички реални числа само една много малка част могат да се запишат с формула, защото формулите са думи – поредица от букви и знаци с крайна дължина. Те се наричат определими. Така всички определими с израз числа са нищожно малко на брой спрямо реалните числа, равносилни са на 0 спрямо тях, а всички изчислими с машина на Тюринг са част от определимите. Така реалните числа са именно онези, които не можем да запишем, нито можем да изчислим, с неразличимо малко изключения, невидими от позицията на Абсолюта. В крайна сметка библиотеката на Борхес не съдържа всички възможни истории на света – освен ако не сложим второ огледало срещу първото, което удвоява всичко видимо. Тогава Единното ще се разпадне в Множественото на Парменид, до безкрайността на реалните числа.

 

Библиография:

Аристотел, Н. Гочев (превод), Метафизика, СОНМ, 2000.

Платон, Ц. Бояджиев (преводач), Парменид, Диалози, том IV, Наука и Изкуство, 1990.

Х.Радемахер и О. Тьоплиц, За числата и фигурите, Наука и Изкуство, 1969.

Роджър Пенроуз, Сенките на ума, Изток-Запад, 2020.

Блез Паскал, Писма до един провинциал, Захари Стоянов, 2005.

Тери Пратчет, Дядо Прас, Вузев, 2009.

Евклид, Б. Петканчин, В. Чуков (преводачи), Елементи, Наука и Изкуство, 1972.

Хорхе Луис Борхес, Вавилонската библиотека, Народна култура, 1989.

Лев Толстой, Ана Каренина, Народна култура, 1981.

Lewis Carroll, What the tortoise said to Achilles, Mind,1895.

 



[i] Ние показахме по-горе, че множеството на всички подмножества на естествените числа има същата кардиналност като реалните числа – ползват една и съща кодировка с 0 и 1,  2ℵ₀=|ℝ|.

[1] Машината на Тюринг е математически модел на изчислителна машина, който има безкрайна лента, съставена от клетки, на която да се записват операциите по четене и запис на стойности. Лентата може да се движи напред и назад. Алгоритмите за изчисление тук се превръщат в правила кога да се чете или да се записва стойност на определени места в лентата. Това е еталон за изчислителна мощност – ако за едно устройство се каже, че може да симулира такава машина, то е с най-високата възможна изчислителна способност (такива са съвременните компютри).

 

[2] Актуално безкрайното схоластиците в католическата църква отъждествяват с Бог. https://www.newadvent.org/cathen/08004a.htm. Георг Кантор е наследник на схоластическата традиция и се обръща към теолозите на католическата църква, когато неговата теория на множеството среща хладен прием сред математиците.

[3] Комплексните числа са съставени от две части – реална и имагинерна във формата (a+i*b), където i е имагинерната единица, която повдигната на втора степен дава числото -1. Измислени за решаването на уравнения, които иначе нямат решение с реални числа, комплексните числа се оказаха незаменими за квантовата механика, като имагинерната единица i фигурира явно във вълновото уравнение на Шрьодингер и те не са просто средство за абстрактни изчисления, но са необходими за описване на реалността. Това е едно от онези неща, поради които Уигнър говори за неочакваната приложимост на математиката в природните науки.

[4] Трансфинитно буквално ще рече „отвъд границата“. – бел. ред.

[5] Мазето на Кантор.

 

Това есе бе редактирано на 03. 12. 2021 г., като беше добавена бележка под линия [i] и отпратка към отговора на автора на критиката, отправена към него от Чавдар Димитров. 2ℵ₀ = ℵ1 бе заменено с 2ℵ₀=|ℝ|.