23.

Контрастът между числата и приложната математика изпъква може би най-ясно в геометрията. Съществува науката чиста геометрия, която включва много геометрии: проективна геометрия, евклидова геометрия,, неевклидова геометрия и т.н. Всяка от тези геометрии е модел, идейна схема, и трябва да се преценява от гледна точка на това, доколко интересна и красива е нейната конкретна схема. Тя е изображение или образ, колективен продукт на много ръце, частичен и несъвършен екземпляр (и все пак точен, докъдето се простира) на област от математическата действителност. Но онова, което сега е важно за нас, се състои в това, че съществува поне едно нещо, на което чистите геометрии не са образи, и това е пространствено-времевата действителност на реалния свят. Очевидно е несъмнено, че те не могат да бъдат такива  образи, тъй като земетресенията и затъмненията не са математически понятия.

Това може да звучи малко парадоксално за един страничен наблюдател, но за един геометър е нещо, разбираемо от само себе си: аз може би ще успея да го направя по-ясно чрез един пример. Да предположим, че изнасям лекция за някоя геометрична система от рода на обикновената евклидова геометрия и че чертая фигури върху черната дъска, за да облекча въображението на моята аудитория – група чертежи на прави линии, окръжности или елипси. Ясно е първо, че истинността на теоремите, които доказвам, съвсем не зависи от качеството на моите чертежи. Тяхното предназначение е само да доведе смисъла на думите ми до слушателите и ако аз мога да постигна това, нищо няма да се спечели от това те да бъдат преначертани от най-умел чертожник. Те са педагогически илюстрации, а не част от истинската тема на лекцията.

Да направим една стъпка по-нататък. Стаята, в която чета лекцията си, е част от реалния свят и сама има определена схема. Изучаването на тази схема и на общата схема на реалната действителност представлява само по себе си една наука, която можем да наречем „физическа геометрия“. Да предположим сега, че в стаята се вкара една мощна динамомашина или масивно гравитационно тяло. Физиците ни учат, че тогава геометрията на стаята се изменя, че  леко, но определено се деформира цялата й реална схема. Стават ли с това невероятни теоремите, които съм доказал? Несъмнено би било глупост да се предположи, че това е оказало каквото и да било влияние върху доказателствата, които съм им дал. Това би било все едно да се предположи, че една пиеса на Шекспир се е изменила, когато читателят разлее чай върху една страница от нея. Пиесата е независима от листовете, върху които е напечатана, а“ чистите геометрии“ са независими от аудиториите или от които и да е други подробности на реалния свят.

Това е гледището на един чист математик. Приложните математици, физико-математиците естествено поддържат друг възглед, тъй като те се занимават със самия реален свят, който също има своя структура или схема. Ние не можем  да опишем точно тази схема, както може да направим това за една чиста геометрия, но можем да кажем нещо съществено за нея. Понякога можем да опишем доста точно, а друг път твърде грубо релациите, които са в сила между някои от нейните съставки, и да ги сравним с точните релации между съставките на някоя система на чистата геометрия. Ние може да успеем да проследим някакво сходство между двете системи релации и тогава чистата геометрия ще стане интересна за физиците; това до известна степен би дало изображение, което „се съгласува с фактите“ на реалния свят. Геометърът предлага на физика цяла система от изображения, от които той да избира. Едно изображение може да подхожда към фактите по-добре, отколкото други и тогава геометрията, която дава това конкретно изображение, ще бъде за приложната математика най-важната геометрия. Мога да добавя, че даже у един чист математик може да се засили интересът към тази геометрия, понеже няма математик толкова чист, че да не чувства изобщо никакъв интерес към реалния свят; но щом се поддаде на това изкушение, той ще напусне своята чисто математическа позиция.

 

24.

Има и една друга забележка,която тук се натрапва от само себе си и която може да се стори парадоксална на физиците, макар че парадоксът вероятно ще изглежда значително по-малък днес, отколкото преди осемнадесет години. Аз ще я изкажа почти със същите думи, които използвах през 1922г. в един адрес до секция А на Британската асоциация. Тогава моята аудитория се състоеше почти изцяло от физици и аз може да съм говорил малко провокационно по въпроса, но по същество още поддържам онова, което казах тогава.

Най-напред изказах становището, че между позициите на един математик и един физик вероятно има по-малка разлика, отколкото обикновено се предполага и че най-важната според мен е тази, че математикът в много отношения е в по-пряк контакт с действителността. Това може да изглежда парадокс, тъй като именно физикът е онзи, който се занимава с предмет, описван обикновено като „действителен“; не са нужни обаче много размишления, за да се убедим, че действителността на физика, каквато и да е тя, има малко или пък съвсем няма атрибутите, които здравият смисъл инстинктивно приписва на действителността. Един стол може да е сбор от въртящи се електрони или идея в главата на бога – всяка от тези характеристики може да има свои достойнства, но никоя от тях не съответства непосредствено на указанията на здравия смисъл.

Продължих, като казах, че нито физиците, нито философите са дали някога убедителна характеристика на това, какво е „обективна действителност“, или на това, как физикът преминава от невъобразимата маса чувствени факти, от които тръгва, към построяването на обектите, които той нарича „реални“. И така не може да се каже, че знаем какъв е предметът на физиката; това обаче не бива да ни пречи да разбираме в груби линии какво се опитва да прави един физик. Съвършено ясно е , че той се опитва да съгласува обърканата маса от груби факти, като им противопоставя някоя определена и подредена схема от абстрактни релации  и този вид схема той може да заеме само от математиката.

Математикът, от друга страна, работи в своя собствена математическа действителност. За тази действителност, както обясних в гл. 22, аз имам „реалистично“, а не „идеалистично“ схващане. Във всеки случай (и това бе основният ми пункт) този реалистичен възглед е много по-правдоподобен за математическата, отколкото за физическата действителност, понеже математическите обекти са така по-близки до онова, което изглежда да са. Един стол или една звезда ни най-малко не приличат на онова, което изглежда да са; колкото повече мислим за тях, толкова по-смътни стават техните очертания в мъглата на усещанията, които ги заграждат; но „2“ или „317“ нямат нищо общо с усещанията и свойствата им стават все по-ясни, колкото по-отблизо ги разглеждаме. Може би съвременната физика по-добре влиза в някоя рамка на идеалистическата философия; аз не съм убеден в това, но има видни физици, които го твърдят. От друга страна, чистата математика ми изглежда като скала, в която се разбива всеки идеализъм: 317 е просто число не понеже ние мислим така или защото нашите умове са устроени по такъв, а не по друг начин; то е просто число, понеже е такова, понеже така е изградена математическата действителност.

 

Из „Апология на математика“, прев. Иван Чобанов, изд. „Наука и изкуство“, 1971г.

Илюстрация: рисунка на Албрехт Дюрер.