Красотата е първата проверка: на този свят няма трайно място за грозна математика.

Годфри Харди

 

 

Поетът като математик

Поезията и математиката често биват сравнявани, като се противопоставят една на друга.  Първата се възприема като продукт на въображението, а втората като продукт на логиката. Честъртън твърди, че полудяват математиците, а не поетите:

Поетът жадува единствено за екзалтация и широта, за свят, в който свободно да се простре. Той иска само главата му да достигне до небесата. А логикът иска да побере небесата в главата си, ето защо се разцепва именно неговата глава.

Когато поетът говори за математика, той има предвид логика. Но когато математикът говори за поезия, той също има предвид логика. Аристотел, който е математик в своето мислене, описва поетическото изкуство като подражание чрез изображение (мимезис), но такова, което запазва вътрешната структура на това, което изобразява и на което подражава:

Също тъй трябва да се предпочита правдоподобното невъзможно, пред невероятното възможно. Фабулите не бива да се съставят от нелогични части и изобщо не бива да съдържат нищо нелогично.

„За поетическото изкуство“ е съчинение по логика за скритите механизми на поезията, както за употребата на езика, на ритмите и на всички фигуративни средства, така и за фабулите, за развитието на сюжета и за правилата на изобразения свят, които трябва да се спазват. Това, което е невъзможно в реалния свят, но е възможно и правдоподобно в изобразения, трябва да се предпочита пред възможното в нашия свят, което е неправдоподобно в изобразения. Светът на поета има своите правила, също като този на математика, който също изобразява действителността, като ѝ подражава. Според Кантор „същността на математиката е в нейната свобода” – свобода да създаде свои идеализирани светове и да въведе строги правила в тях, на които да се подчинява. Така вижда математикът и поезията.

 

Математикът като поет

Математиците описват своята наука по друг начин – основана по-малко на логиката и повече на въображението. Прословута и оттам прочута е репликата на Давид Хилберт. Попитан за един негов талантлив аспирант, който загубил аспирациите си към математиката, той отвърнал; „Той ли. Той стана поет. Нямаше въображение за математиката“. Хилберт казва това неслучайно – негов е парадоксът за хотела: в един безкраен хотел, където стаите са единични, въпреки че всяка стая е заета от гост, могат да се настанят още гости, дори безкрайно много гости. Негова е и идеята за безкрайномерните пространства (не тримерни, четиримерни или n-мерни). Негова е и Хилбертовата крива, която минава през всяка точка на единичния квадрат (всяка точка се определя от двойка реални числа), без да се пресича. Тя се получава, като едно и също правило се прилага отново и отново върху кривата – рекурсия, проточваща се в безкрайността, в чиято актуалност вярват крайно много хора.

 

 

Логиката на безкрайното е поезията на крайното. Тя описва един въображем, идеален свят със своя собствена, но ненакърнима логика. Свят, който поетът е създал, за да предаде своята радост на хората, за да могат те да гледат неговите картини и „да се учат и умозаключават какво представлява всяко нещо“, както пише Аристотел. От гледна точка на математиката едно вероятно невъзможно е по-приемливо от едно невероятно и възможно (по Аристотел). Вероятно невъзможно е елементарните частици  в квантова теория на полето да са съставени от части, които имат свои части и така чак до нулевия размер – изтънчен начин да се каже „до безкрайност“. Вероятно невъзможно е и че при случайното движение на молекулите на газа, чиито пътища са непрекъснати линии, в нито един момент от време не можем да измерим скоростта им (те са фрактални като кривата на Хилберт).

Вероятното невъзможно е и винаги предпочитаното от един от най-великите поети на математиката – Годфри Харди.

 

Елегията на Харди

Има обаче нещо друго, в което той (Годфри Харди) превъзхождаше Айнщайн или Ръдърфорд, или който и да е друг велик гений: превръщането на всяка интелектуална работа, голяма, или малка, или само игра, в творение на изкуството. Мисля,че този дар преди всичко е, което, почти без той да го съзнава, го правеше да буди такъв интелектуален възторг. Когато „Апология на математика“ бе публикувана за пръв път, Греъм Грийн писа в един очерк, че тя наред с бележниците на Хенри Джеймс е най-добрата характеристика на онова, неуловимо, което се крие в един артист-творец. Като си мисля за въздействието, което Харди упражняваше върху хората около него, аз смятам, че това е разковничето.

Чарлз Пърси Сноу

 

Годфри Харди е изтънчен математик, английски творец, който, освен с прекия си принос към математиката, е запомнен и заради довеждането на гения Рамануджан в Англия и неговото култивиране. Ако Харди е поет, подобен на Хилберт и в средствата, и в темите на своето изкуство, то Рамануджан прилича на пророк Илия в пустинята, достигащ до истината чрез Божието откровение. В ранните си години на самоук математик, той е сънувал своите уравнения, които после записвал.  Тези уравнения са фантастични и по-трудни за вярване от много от митовете и легендите на древните народи – но повечето са били верни, истинни. Истината е съществено понятие за творците на математическото изкуство. С това те се отличават от чистите логици като Бертранд Ръсел, както и самият той отбелязва, след като разглежда класовете от съждения, които са присъщи на логиката:

Освен това математиците използват едно понятие, което не участва в разглежданите съждения, а именно понятието истина.

„Апология на математика“ на Годфри Харди е пътеводител в света на твореца, ценна за незапознатия с висшите измерения на мисълта в математиката читател, който въпреки всичко е поклонник на музата на геометрията Урания:

Защото хората, които са били вдъхновени от нея, тя издига към Небесата (ouranos), защото е факт, че въображението и силата на мисълта издигат душите на хората до небесни висоти. (Диодор Сицилийски)

Писана като апология, тя е по-скоро елегия на твореца в неговия залез, когато той прави най-презряното нещо – пише за творчеството, вместо да твори:

Горчиво изпитание за един професионален математик е той да се окаже в положение да пише за математиката. Математикът е математик, за да прави нещо, да доказва нови теореми, да допринася за математиката, а не да разправя за онова, което той или други математици са правили… Общо взето, няма по-дълбоко, няма по-основателно презрение от презрението на човека, който създава, към човека, който обяснява. Тълкуване, критика, оценка – всичко това е работа за второстепенни умове.

Краят на Втората световна война е краят и на твореца на математика Харди. От поет на математическото изкуство, той се превръща в поет. Двете световни войни са тежки за неговата пацифистка натура. Любимата му наука намира в бойните действия приложения, кулминиращи в развитието и избухването на атомната бомба. В своята „Апология“ той се утешава, че образците на неговото изкуство на теорията на числата и анализа не са намерили приложение и не са спомогнали да се убиват хора; с това той се чувства сроден с художниците и поетите:

Никога не съм направил нищо „полезно“. Нито едно мое откритие не е направило, нито пък има изгледи да направи – пряко или косвено, за добро или за зло – ни най-малко света по-приятен.

Харди говори за „приятност“ от утилитарен тип, не за естетическото удовлетворение, което зрителите на неговите изображения изпитват, когато се учат или правят нови умозаключения. Той се разграничава напълно от „ползата“, за да се изолира от вредата и от насилието, на което е бил свидетел. Математиката, която практикува е онова, което Гаус нарича „априорни истини“ – свойствата на числата (и особено на простите числа), които според него са продукт на нашия ум, докато пространството има своя реалност и извън него (оттам и геометрията не е априорна).

Това е и математиката, която Харди показва на читателя чрез два примера.  Първият е доказателство от Елементите на Евклид, че простите числа са безбройно много, а вторият е за ирационалността на диагонала на единичния квадрат. И двете доказателства са reductio ad absurdum – чрез предполагане на противоположното, достигаме до абсурд, с което доказваме нашето твърдение. Това Харди нарича „едно от най-тънките математически оръжия“ и го сравнява с гамбита в шаха, при който се жертва не една пешка, а самата игра. Особеният афинитет към студената логическа красота в този подход го сродява с Бертранд Ръсел и Давид Хилберт, но най-вече с античните философи и математици като Евклид и Платон, поставили го за основа на своите теории.  Харди избира тези две теореми по три причини – простотата на твърденията и доказателствата; дълбокото им значение за развитието на математиката; и най-важното – липсата на каквото и да било приложно значение според неговото разбиране. В крайна сметка въпросът за всички цифри на числото π е от областта на изкуството, а не на инженерните науки. Ирационалните реални числа съществуват в света, създаван от математика, но в реалността се ползват рационалните, като техни приближения.

 

За нетленната красота на математическото изкуство

След като няма полза от работата на чистия математик, защо един първостепенен ум би се занимавал с това изкуство? Защо Харди се е посветил на него?  Самият той сравнява директно поетите, художниците и математиците и намира приликата между тях в създаването на образци (в това той се доближава до своя колега Аристотел). Поезията за него е не това, което се казва, а начина, по който се казва, т.е. предимно стила, като идеите той намира често за банални. Близостта на математиката до тези две изкуства е в красотата:

Образците на математика, подобно на художника или поета трябва да са красиви; идеите, както цветовете или думите трябва да се съгласуват хармонично помежду си.

Разликата е в стойността на идеите – математическите идеи за него са по-сериозни, по-дълбоки и по-малко банални от поетическите. Тяхната значимост не е практическа; тя се състои в големината и значимостта на комплекса от идеи, който изграждат. Това са идеи, като тези на Декарт, който свързва две напълно различни области като алгебрата и геометрията и намира алгоритъм за решаването на задачи чрез манипулация на символи, изпълним и от механична машина; задачи, които иначе могат да се решават само с виждане, с цялостно осмисляне, вместо с анализ, както Платон казва. Така интерпретацията, смисълът, плодовете на разума стават достъпни за разработени от човека машини, които не притежават интелект. Всяка такава идея за Харди е вечна – и много по-трайна от ортодоксалната поезия:

Гръцката математика е „трайна“, по-трайна дори от гръцката литература. Архимед ще бъде помнен и след като Есхил бъде забравен, защото езиците умират, но не и математическите идеи. „Безсмъртие“ сигурно е глупава дума, но един математик сигурно има най-добрия шанс за онова, която тя би трябвало да означава.

 

Апологията на математика

Апологетиката е благородна наука за защитата чрез рационални аргументи; и навярно Харди наистина е възнамерявал да напише апология, преди книгата да заживее свой собствен живот, както често се случва при великите творци, дори когато те творят изкуство, различно от привичното им.

И в елегията има място и за апология:

Е, оправданието на моя живот, както и на живота на който и да е друг математик като мене, е следното: аз съм добавил нещо към знанието и съм помогнал на други да добавят повече; че това има стойност, която се различава само по степен, но не и по вид от тази на творенията на великите математици или на който и да е от другите артисти – голям или малък – оставили следи в паметта на човечеството.

 

 

 


Източници:

Аристотел. За поетическото изкуство. Прев. Александър Ничев, изд. „Наука и Изкуство“, 1975г.

Диодор Сицилийски. Историческа библиотека, 4.7.1.

Харди, Готфрид. Апология на математика. Прев. Иван Чобанов, изд. „Наука и Изкуство“, 1971г.

Хилберт, Давид. Крива на Хилберт.

Wilson, Kenneth. Nobel Prize Lecture.