Така че относно разграничаването на образа от образеца му трябва да приемем следното: разсъжденията, които обясняват нещата, са сродни с тези неща; за това, което е трайно, устойчиво и очевидно мислимо, те са трайни и неизменни – доколкото е възможно да бъдат неопровержими и непобедими, не трябва нищо от тези качества да липсва. А разсъжденията, отнасящи се до това, което възпроизвежда първообраза, понеже то е образ, те са правдоподобни, доколкото са правдоподобни на първите: както битието се отнася към сътворяването, така се отнася истината към вярата. Така че, Сократе, не се учудвай, ако за много неща, в много отношения, за боговете и за създаването на Вселената не сме в състояние да дадем неоспорими и абсолютно точни разсъждения. Но ако успеем да дадем не по-малко вероятни, трябва да се радваме, помнейки, че и аз, който говори, и вие, които преценявате, имаме човешка природа, така че ни подобава да приемем за тези неща един вероятен мит и да не търсим нещо повече от него.

Платон, „Тимей“

 

 

Случайността в древността

Всичко животът ни носи, а трайното време променя
слава, съдба, красота, и естеството дори.
Платон, Епиграми

 

В античния свят превратностите на съдбата са разбирани по-добре, отколкото в днешния. Героите на Омир са такива, не защото печелят, а защото извършват героични подвизи. Победата или загубата е в ръцете на боговете, чужди и капризни сили, извън контрола на героите. Това е отговорът на Хектор на молбите на Андромаха:

Свидна! Недей изтезава сърцето си с толкова горест!
Мимо съдбата не може човек да ме прати при Хадес.
Смятам, че никой от хората свойта съдба не избягва:
нито героят, ни слабият, щом е роден на земята. (1)

Непроницаемостта на Божията воля е и главна тема в книгата на Йов, който е подложен на тежки изпитания, въпреки че е праведен и бива съден от своите приятели, които заключават, че трябва да е грешник, щом е наказван така. Жалбите му до Бога срещат Неговия отговор:

4. Де беше ти, когато полагах основите на земята? – кажи, ако знаеш.
5. Кой ѝ определи мярката, ако знаеш? Или кой е опъвал по нея въжето?
6. На какво са закрепени основите ѝ, или кой положи крайъгълния ѝ камък,
7. при общото ликуване на утринните звезди, когато всички Божии синове възклицаваха от радост?

Йов, 38: 4-7

Как би могла човешката мисъл да обхване безкрайното? За нея то изглежда произволно, случайно.

Йов устоява в лошото така, както е устоял и в доброто, и Бог го възнаграждава за това многократно.

Древните са разбирали, че има сили, които не могат да бъдат контролирани и са виждали Божественото в тях; сили, които човеците нито могат да проумеят, нито да предскажат. Древногръцките и вавилонски открития, че все пак някои явления са предсказуеми, както Талес доказва, когато предсказва Слънчевото затъмнение на 28.05.595 г. пр.Хр., откриват пътя на нова вяра: в силата на разума и неговите инструменти – числата. Питагорейската вяра, без да отхвърля боговете, ги идентифицира не със случайността, а със законите и реда. Астрономията показва, че движенията на планетите и Слънцето по зодиака са закономерни – повторяеми, еднакви всяка година, с което случайността се отхвърля като невероятна. Това е първата неявна оценка на вероятността като степен на сигурност – вероятността да е случайно движението е нищожна, защото то се повтаря еднакво всяка година. Нищожна е вероятността това движение да е случайно, но е огромна тя да е напълно закономерна и необходима. В тази необходимост питагорейците виждат Божественото. Думата, която Питагор използва, е космос – κόσμος, която означава „ред“. В природата има ред само там, където има разум – прави ъгли и окръжности създават хората. Окръжностите в небесата са създадени от небесен разум. И ако за Питагорейците самите планети са богове, разумни скитници, подчинени на божествения разум, то за Аристотел същият този разум е първопричината на реда – той задвижва всичко, без да бъде задвижен, причина за следствия без да бъде следствие на нито една причина.

Въпреки това възникват теориите на Анаксагор и Демокрит, които приписват случайно движение на планетите в небесата, причинено, според тях, от множество независими причини (вихри) (2), Платон се изказва сурово за това в „Закони“:

Хората казват, че Слънцето, Луната и звездите са планети или скитници; но това е обратното на фактите. Всяка от тях се движи само по една орбита, която е кръгова, а не по много; нито най-бързите от тях са най-бавните, както изглежда на човешките очи. Каква обида би било, ако предложим на Олимпийските бегачи първият да е на последно място и последният да е на първо! И ако това е нелепа грешка, когато говорим за хора, колко по-нелепо е, когато говорим за боговете? Те не могат да бъдат удовлетворени от нашето изричане на неверни неща за тях. Тогава хората трябва най-малкото да научат достатъчно за тях, за да избегнат безчестието.(3)

Чрез случайното движение на атомите Демокрит иска да обясни закономерностите в света и ако това напомня на съвременната статистическа физика, то неговите атоми са неделими, защото той отхвърля идеите на Парменид и учението на Зенон за логическата невъзможност да се опишат движението и континуума чрез разделяне на стъпки, или на части. Ако правата е съставена от точки, а те са безброй много и нямат свои размери, как тя има размери? А ако те имат размери, как тя не е безкрайно дълга? Демокрит е рационалист – за него всичко подлежи на измерване и съизмерване и затова безкрайна делимост не съществува; но той би останал много изненадан от съвременната физика, както пише и Поанкаре в „Материята и етера“. Дори един протон в атома е море от частици, от което изследователите „избиват“ нови и нови видове, когато го бомбардират с все по-бързи електрони, сякаш няма горна граница на броя частици. Отхвърляйки безкрайната делимост, Демокрит се опитва да реши една апория, като я заобиколи. Отхвърляйки природните закони чрез случайните движения на атомите, породени от тяхното отблъскване, той се доближава до съвременните физични идеи, при които физичните закони са статистически – но тук се забравя вероятността. Случайното движение на атомите води до разпределение на вероятностите, което не е случайно – и от математическия закон на големите числа и физиката не може да се избяга. Редът се запазва, дори когато разбирането за материята ни се променя. Ред, базиран на вероятности.

 

Необходимост и вероятност

Вероятното се намира между невъзможното и сигурното. В античността вероятното е отъждествявано с правдоподобното – колкото по-близо до необходимостта, толкова по-вероятно. Аристотел, като създател на силогизмите, е разбирал необходимостта и вероятността може би най-добре от древните – и ако цитатът от Платон в „Тимей“ показва, че учителят на Аристотел е притежавал същото разбиране, то ученикът е имал интуиция и за измерването на разбираното. Ако всички A са B и някои B са C, то следва ли по необходимост, че някои A са C? Не следва, защото може да има много повече B, които не са А, отколкото B, които са A. И все пак, колкото по-малко са тези B, които не са A, толкова по-близо сме до сигурността. И за Аристотел следва по вероятност, че някои A са C, като колкото по-малко са B, които не са A, толкова е по-голяма тази вероятност. Добре построеният силогизъм дава сигурен резултат. Всички хора са смъртни, Сократ е човек, следователно Сократ е смъртен. Обръщането на силогизмите дава или невъзможен, или само вероятен резултат. Сократ е смъртен, всички хора са смъртни, следователно – с някаква вероятност Сократ е човек. Тя е толкова по-малка, колкото повече смъртни не-хора има. Но именно такава е класическата вероятност на Лаплас. Вероятността е степен на сигурност по същия начин, по който обърнатият силогизъм е степен на необходимост:

Същността е – както казах, – в това, че частичното знание също има стойност, но само ако можем да кажем каква е степента на неговата истинност; ако познаваме процентната вероятност на едно събитие, тогава знаем нещо определено за него, въпреки че то всъщност е несигурно. Така частичната сигурност трябва да се оценява, но не бива да се надценява и не бива да се смесва с пълната сигурност. Монтен, чиито „Опити“ са ми по-скъпи от всяка друга книга, макар и често да споря с него наум, изразява това така: „Да мразя вероятните неща ме карат онези, които ги представят за сигурни.“(4)

Съвременната теория на вероятностите има няколко начала. Едно от тях е в писмата на Блез Паскал до Пиер дьо Ферма, отнасящи се до проблем от хазартните игри. Тези писма, както всичко друго, писано от Паскал, са образец на литература; образец, подхванат от Алфред Рени през 20-ти век по блестящ начин в книгата му „Писма за вероятността“. Алфред Рени е голям унгарски математик в области като теория на вероятностите и теория на числата, основател на Института по математика към Унгарската академия на науките. Баща му е инженер, а майка му – дъщеря на философа и литературен критик Бернхард Александър. Рени получава като дар онзи синтез на изкуствата, за който Платон пише в „Държавата“. Плод на завършеността на неговото образование са две литературни творби – „Диалози за математиката“ и „Писма за вероятността“. И двете са издържани в антични форми, които той ползва, за да вдъхне живот на един жанр, започнат от Харди с „Апология на математика“. Втората продължава писмата на Паскал, за да положи основите на съвременната теория на вероятностите. А в нея, противно на мечтите на Демокрит, основата е именно мярката, решението на цитираната от нас апория, която той иска да избегне с атомите (ἄτομος – неделим):

Без съмнение забелязахте, че във връзка с измерването на степента на сигурност аз тихомълком живях с едно предположение, а именно предполагам, че пълната сигурност е неограничено делима, така, както линията, пространството, или числата. Във връзка с това си заслужава да се изследва дали наистина всяко число между 0 и 1 може да бъде вероятността на едно събитие, зависещо от случайността.

Примерът, който Рени дава, е с часовника. Каква е вероятността, ако погледнем случайно към него, голямата стрелка да е между 15 и 20 минути? Секторът на часовника, даващ тези 5 минути е 1/12 от пълния кръг и с равномерното движение на стрелката е достатъчно да вземем отношението 1/12 като мярка за вероятността. В математиката важно е отношението, когато то съществува, а още по-важно е, когато то не съществува (като корен от 2, който е безкрайна верижна дроб). Тези от реалните числа, които „не съществуват“, защото не могат да бъдат изчислени с краен брой стъпки, подкрепят онези, които съществуват, за да опишат света – както реалния, така и построения от математиците, които се допират на изненадващо много места.

 

„Писма за вероятността“ на Алфред Рени

 

Силогизмите на Аристотел се проявяват във вероятността чрез събитията. Принципът на изключеното трето (tertium non datur) е най-силното магическо заклинание в математиката. Неслучайно Ибн Сина от Балкх, или Авицена, пише за мистиците на изток, отричащи този принцип:

Той трябва да бъде подложен на огън, тъй като „огън“ и „не огън“ са едно. Болката трябва да му бъде причинена чрез побой, тъй като „болка“ и „никаква болка“ са едно. И трябва да му бъде отказана храна и напитка, тъй като яденето и пиенето, и въздържанието и от двете са едно и също.(5)

Чрез този принцип различаваме „поне едно“ и „нито едно“ като две противоположности. Те не могат да настъпят едновременно, но едно от тях ще настъпи със сигурност, или с вероятност 1. Затова „поне едно“ и „нито едно“ са на везните – колкото повече се увеличава вероятността за първото, толкова повече спада за второто и обратното, тъй като сборът им е 1. Така вероятността да не хвърлиш 6 с един зар при едно хвърляне е

Да не хвърлиш нито веднъж при две хвърляния е

А при четири хвърляния –

Обратното на това да не хвърлиш нито един път, е да хвърлиш поне един път, и следвайки стъпките на Аристотел, вероятността е 671/1296, което е повече от ½ или 648/1296. Да залагаш на поне една шестица от четири хвърляния дава средно над 50% възвръщаемост и при равни залози, с времето ще натрупаш богатства – благото на мисълта води земните блага.

 

Знание и несигурност

От гледище пък на общоприетото мнение може да се приеме изображението на неоснователни неща, защото – вероятно е да стане и невероятното.
Аристотел (6)

Вероятността е мярка за осъществимостта на едно събитие, но в какъв смисъл? Представете си 16 различни карти за игра, добре разбъркани. Шансът да излязат в реда, в който виждаме, е , тъй като всяка следваща карта отнема по един избор от предишната – първата може да бъде на 16 различни „места“ (от 1-ва до 16-та), втората – само на 15, третата само на 14. Така последната „няма избор“, което в комбинаториката означава, че има само един избор. Липсата на избор е избор.

Представете си какво всъщност означава това – пред очите ни настъпва събитие, чиято вероятност е по-малка от единица, разделена на двадесет хиляди милиарда.
А. Рени

И най-малко вероятното може да се случи веднъж, затова прав е Аристотел, когато цитира поета Агатон: много невероятни неща застигат смъртните. Въпросът е, както пише Рени, колко лесно могат да се повторят. За еднократно случилите се събития не можем да знаем нищо, защото вероятността е това, което оценяваме, когато видим нещо да се случва многократно. Вероятността е граница, абстракция и идеал. Всяка крайна редица от числа е случайна; дори тази на четните числа до 100 – 2,4,6,…. Ако хвърляме зар с десет страни достатъчно дълго и тя ще излезе. Така, когато видим, че някой повтаря 9,9,9,9… няма как да знаем, че това не е случайно, ако не ни кажат кога е започнал да казва числата. Сигурността на нашето знание дори за несигурното изглежда несигурна.

На едно място Монтен е писал, че „от фактите никога не можем да се сдобием с пълна увереност, защото фактите никога не са еднакви“. Можем да допълним твърдението на Монтен с това, че от фактите не можем да получим с пълна точност и степента на частичната сигурност.

Ако някой ни даде една нечестна монета, пише Лаплас в своето философско есе, но ние не знаем дали по-често се пада ези или тура, вероятността за две поредни ези и две поредни тура е една и съща – и по-голяма от 1/4, и те ще се падат еднакво често при много на брой хвърляния. Ако знаем, обаче, в коя посока монетата е фалшива, например за ези, тогава вероятността за две поредни ези ще е по-голяма от тази за две тура, сякаш нашето знание променя случващото се! Критерият на Лаплас се крие и зад бодрия оптимизъм, с който вярваме, че Слънцето ще изгрее и утре, защото досега винаги го е правило, както и зад отговора на невежия, че извънземни или има, или няма, следователно вероятността да има е ½. Той е принципът на симетрията на несигурността – когато не знаеш нищо, трябва да приемеш, че всичко възможно е равно вероятно. Красотата винаги подмамва, но и нерядко мами; несигурна е и несигурността. Единствено в безкрайността знанието е сигурно, там, където човекът не може да достигне, но може да го осмисли, така, както осмисля, че сборът на две четни числа не може да е нечетен:

Казаното може да се изрази и така: броят на фактическите осъществявания на едно събитие се отнася (приблизително) към броя на всички осъществими възможности, както вероятността на събитието към единица, т.е. към вероятността на пълната сигурност. Удивително е това съгласуване между логика и факти, от една страна, и възможност и осъществяване, от друга! Можем да прилагаме последователно двата вида заключения: от наблюдения върху честотите можем да направим заключения за вероятностите, а от получените по този начин познания за вероятностите, можем да направим заключения за честотите на събития, които ще настъпят в бъдещето. Така, допълвайки се и поддържайки се взаимно, наблюдението и разсъждението подпомагат опознаването на света!

Така битието се отнася към възникновението(7), както истината към вярата. В безкрайността е битието, извън времето, провидяно от Парменид хилядолетия преди Айнщайн да нарече времето „нищо друго, освен илюзия“, а в крайността е промяната, която описваме само с вяра и вероятност, докато битието обхваща всички неща и истината описва него, защото сигурност има само в него.

 

 


[1] Омир, „Илиада“, Ал. Милев, Б. Димитрова (прев.), 1969. Песен VI, с. 485.

[2] За повече по тази тема виж – Л. Томов (2020). „Религия, наука и атеизъм в древна Елада“, сп. Венец, Том 11, номер 1, стр. 67-83.

[3] Платон, Закони (2006), прев. Невена Панова, Георги Гочев, СОНМ, книга I.

[4] А. Рени, Писма за вероятността, прев. Г. Димков, Техника, 1981.

[5] Avicenna, The Metaphysics of Healing.

[6] Аристотел, „За поетическото изкуство“, А. Ничев (прев.), 1975, изд. „Наука и изкуство“, гл. 25.

[7] Съществуващото, към възникващото, промяната, движението.