В тази рубрика публикуваме читателски писма, коментари и поправки. Пишете ни на peat @ peatnekoga.com!

Чавдар Димитров за “Математиката и безкрайността” на Лъчезар П. Томов

 

По повод на това есе на доктор Томов различният читател може да изпита различни чувства. От учудване и възхищение от неговата начетеност до скука и отвращение. Емоциите на читателя са, разбира се, лични и не се нуждаят от публично обсъждане. Както е модерно да се казва тия дни: “всеки сам си преценя” дали да чете текстовете му и дали ги харесва или не.

 

Има обаче един въпрос, по който НЕ МОЖЕ всеки сам да си преценя. И този въпрос е въпросът за мощността на континуума (размера на множеството на реалните числа.)

В текста се срещат някои притеснителни, необясними и доста загадъчни твърдения. (Всъщност първото притеснително нещо е, че авторът е дал библиография, в която няма нито един учебник по теория на множествата.)

Ето за какво става дума:
1. “Алеф е по-голямо от Омега и не участва в неговите игри.” (Тук се подразбира ℵ₀.)

Какво иска да каже авторът с това (и част от т.4) е загадка.

Да погледнем в букварчето [виж 1, стр. 29]:

“The ordinal ω is the least infinite cardinal. Note that all infinite cardinals are limit ordinals. The infinite ordinal numbers that are cardinals are called alephs.”

Дали това не означава, че ℵ₀ и ω са едно и също нещо? Загадка…

Следващите три твърдения казват едно и също нещо и касаят размера (мощността) на континуума (множеството на реалните числа).

2. “Множеството от всички възможни подмножества на множеството на естествените числа се записва с редица нули и единици с дължина ℵ₀ и се оказва с размера на голямата безкрайност 2 на степен ℵ₀ = ℵ₁. ”

3. “Забележете, че това равенство 2 на степен ℵ₀ = ℵ₁ не важи за реда при тези множества…”

4. “Така Алеф-0 се оказва по-голям от Омега, а абсолютът е с размера на реалните числа ℵ₁. ”

Авторът съвсем категорично твърди, че размерът (множеството) на реалните числа е ℵ₁. За съжаление това твърдение не е вярно. Къде е проблемът?

В текста коректно е отбелязано, че за всяко множество x, множеството от неговите подмножества е стриктно по-голямо по размер.
За всяко x: card(x) < card(P(x)) [виж 3, както и 2, стр. 67].

Коректно е, че за всяко x: card(P(x)) = 2 на степен x [виж 2, стр. 68].

Вярно е, че card(Reals) = 2 на степен ℵ₀ (виж снимката от 1).

 

 

 

И сега идва големият проблем.
2 на степен ℵ₀ не е ℵ₁, а Бет 1 (виж дефиницята на числата Бет, 4). Дали Бет 1 (респ. 2 на степен ℵ₀) е равно на Алеф 1 е хипотеза, която се нарича “Хипотеза за контимуума” (CH – Continuum hypothesis). Т.е. нямаме право да твърдим, че реалните числа са ℵ₁ докато хипотезата не се потвърди.

Точка.
А тя няма да се потвърди….

Тази хипотеза е, може би, едно от най-важните твърдения в математиката. Не случайно тя фигурира като проблем номер едно в списъка от 23 проблема на Хилберт [виж 5]. Абсолютно невъзможно е доктор Томов да не знае това. Той знае, че с работата си Гьодел, а после Пол Коен (който специално за целта създава техниката за forcing ) показват, че хипотезата за контимуума е независима от аксиоматичната система ZFC (независима = не може да се докаже или опровергае в рамките на тази система), след което математиката вече не може и никога няма да бъде същата… И така нататък и така нататък.

Защо в текста не става дума за тия неща е загадка…

Така или иначе размерът на реалните числа НЕ Е ℵ₁ и е редно текстът да бъде редактиран.
(Предлагам текстовете с математическа тематика да се преглеждат от хабилитиран математик, така щото да не се получава друг път случаен човечец от улицата да намира елементарни грешки в тях.)


[1] Thomas Jech, Set Theory, The Third Millennium Edition, Springer, 2002.

[2] Judith Roitman, Introduction to Modern Set Theory, 2011.

[3] “Теорема на Кантор” (на английски).

[4] “Число бет” (на англ.).

[5] “Хилбертови проблеми (на англ.).

 

 

Отговор на критиката на Чавдар Димитров

Лъчезар П. Томов

 

1. “‘Алеф е по-голямо от Омега и не участва в неговите игри.’ (Тук се подразбира ℵ₀.) Какво иска да каже авторът с това (и част от т.4) е загадка.“

Какво иска да каже авторът е ясно и еднозначно написано в самото есе. Алеф е кардинално число, Омега е ординално число. За Алеф не важат правилата на аритметиката на Омега.[i]

Дали  ℵ₀  и ω са едно и също нещо? Кардиналните и ординалните числа са съществено различни понятия, които съвпадат по стойност за крайните множества, но не и за безкрайните. Множеството на всички крайни ординални числа има кардиналност ℵ₀. Разликата между кардиналност и ординалност е изяснена с примери в есето. При желание, може да се погледне и тази дискусия: https://philosophy.stackexchange.com/questions/6352/what-is-the-difference-between-an-ordinal-number-and-a-cardinal-number

Фон Ноймановата дефиниция на ординалните числа като множества изключва те да бъдат разбирани като кардинални числа. Кардиналното число указва размера на едно добре наредено множество. Ординалните числа имат своя кардиналност, но не са кардинални числа. Пример за това е серията от ординални числа ω, ω^2, ω^3…ω^ω и т.н. чак до , които са изброими и съответно имат една и съща кардиналност ℵ₀. [ii] Този пример е достатъчен, за да поясни защо ординалните и кардиналните числа не следват едни и същи аритметични правила.

 

2. За хипотезата за континуума

В есето бе демонстрирано по неоспорим начин, че т.нар. powerset (множеството на всички подмножества) на естествените числа има същата кардиналност като множеството на реалните числа. Реалните числа в кодировката на Кантор са безкрайни серии от 0 и 1, а преброяването на всички подмножества на множеството на естествените числа включва именно такава безкрайна серия от 0 и 1: за всяко число, ако участва в подмножеството, има цифрата 1, а ако не участва – цифрата 0. QED.

Хипотезата за континуума не оспорва равномощността на този powerset и множеството на реалните числа 2ℵ₀=|ℝ| – тя твърди, че между ℵ₀ и |ℝ| няма друга кардиналност – няма множество S, за което

ℵ₀.<|S|<2ℵ₀

Ако приложим аксиомата на избора, можем да твърдим, че има най-малко кардинално число ℵ1, по- голямо от ℵ₀, за което

2ℵ₀=ℵ1

Пол Коен доказва, че тази хипотеза е независима от системата ZFC [iii], която е основа на съвременната теория на множества, дори и да се приеме аксиомата на избора, заради което получава и Фийлдс медал. Популярен текст по темата излезе в Quanta Magazine [iv]. Пол Коен разработва техника на форсирането, чрез която може да се разшири множеството на реалните числа до по-голяма кардиналност, чрез създаването на нови реални числа. С това се създава мултивселена от възможни математически вселени. В някои от тях хипотезата за континуума важи, а в други – не. Още Гьодел демонстрира модел на ZF, в който важат едновременно аксиомата на избора и континуумната хипотеза. Въпросът за това дали хипотезата е вярна зависи от избора на версия на теория на множествата, тъй като тя е независима от аксиоматичната система, приета в съвременната математика – ZFC. Както нейното приемане, така и нейното отхвърляне са съвместими с тази система. [v]. „Същността на математиката е в нейната свобода“ – казва Георг Кантор.

 

3. За аксиомата на избора

Неформалното обяснение на тази аксиома е, че позволява от всяка колекция от множества с поне един елемент във всяко, да се избере целенасочено по точно един елемент от всяко множество, дори колекцията да е безкрайна. В някои случаи, както с т.нар. powerset на естествените числа, при някои критерии за избиране, наричани още функция на избор, можем да го направим и без тази аксиома – например във всяко крайно или безкрайно подмножество на естествените числа като {1,2,4}, {100,101,102}, {2,4,8,16…} можем да изберем най-малкия елемент. Не е възможно обаче да изберем най-малкия елемент от подмножествата на реалните числа (познатите ни реални числа, съдържащи и трансцедентните като π), така, както например не можем да определим кое е най-малкото положително реално число – винаги има по-малко. Съответно в този случай не съществува такава функция на избор. Бертранд Ръсел дава известно с простотата си обяснение под формата на аналогия – дори при безкрайна колекция от чифтове обувки можем да изберем лявата от всяка колекция, защото лявата и дясната обувки са различни. Не можем обаче да изберем от безкрайна колекция от чифтове чорапи, които са идентични [vi] – няма как да дефинираме функция на избора, затова се налага да прибегнем до най-старата техника в математиката – да ползваме този избор като аксиома.  Ролята на тази аксиома и нейната несъвместимост с основна аксиома в теория на мярката – аксиомата за определеността е сама по себе си предмет на разказване в есе.

 

 

 


[i] https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725877900671

[ii] Jech, Thomas (2003). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Berlin, New York: Springer-Verlag.

[iii] Zemelo-Frankel set theory – Аксиоматична система, на която се основава теория на множествата, която система избягва класически парадокси от теория на множествата като парадокса на Ръсел, парадокса на Кантор и др.

[iv] https://www.quantamagazine.org/how-many-numbers-exist-infinity-proof-moves-math-closer-to-an-answer-20210715/

[v] https://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html

[vi] Jech, Thomas (1977). “About the Axiom of Choice”. In John Barwise (ed.). Handbook of Mathematical Logic.