Искам да ви обрисувам не само видимите безпределни простори, но и безкрайността, включена в мъничкия атом. Нека видим в него неизброими светове, всеки със своя небесен свод, планети и земя, в същото съотношение, както видимата вселена; да си представим живите същества на тази земя и най-сетне червея, в който ще съзрем същите елементи, както в първия червей. Можем да продължим така без отдих и безспир, докато съвсем се загубим пред това чудо, не по-малко изумително с малките си размери, отколкото другото със своята необхватност; кой не би се удивил наистина, че нашето тяло, незабележимо във Вселената, е истински колос, цял свят, едва ли не всичко в сравнение с нищото, непостижимо за мисълта ни?

Блез Паскал, Мисли, 72

*

Представете си една частица полен, попаднала в чаша вода. Тя бива случайно удряна от десетки трилион трилиона молекули, идващи от произволни посоки без никакъв ред. Толкова начесто удряна, че непрекъснато променя траекторията си. Във всеки един момент от време тя има чупка в своя път, защото груб удар я изблъсква от предначертаното от предишения удар. А между всеки два момента има безброй други. Тази частица описва траектория, която е съставена само от чупки – тя е фрактал. А фракталът прилича на себе си във всяка своя част, на всяка скала на приближение. Дължината на тази начупена линия е безкрайност, защото колкото по-голямо увеличение ползваме, толкова повече начупени линии виждаме. Фракталът е линия, която е с по-голяма размерност от правата или кривата линия, защото в крайно пространство има безкрайна дължина – и затова тя е нещо повече; нещо между правата и равнината. В този случай, линията е с размерност 4/3 – и това не е музикалният размер, или поне не е музика от този свят. Линия, която заема пространство между правата и равнината, с измерения на брой 4/3 – между 1 и 2: това е моделът, който описва движението на една истинска частица полен в една истинска чаша с реална вода.

Фигура 1. Брауновото движение, фрактал. Използвано е от Айнщайн и Жан Перен за доказателство, че атомите съществуват, за което само вторият получава Нобелова награда.

Още Демокрит описва своята концепция за атомите, неделимите топчета на реалността, случайно удрящи се едно в друго и пораждащи реда във видимия свят. Оттогава насетне физиците търсят нещо, което да не могат да разделят и така и не успяват да го намерят. Молекулите, блъскащи частицата полен, са съставени от атоми, а те – от електрони, неутрони и протони. Както писахме в предишно есе, оказва се, че един протон сам по себе си е Вселена – и не знаем дали тя има дъно. Бездънната яма надолу и безмерната бездна нагоре поражда апейрофобията (страха от безкрайността) на поколения учени рационалисти, които се посвещават на търсене на крайни обяснения за света. В последна сметка, безкрайността не е ли просто хитрост от страна на математиката, целяща да опрости формулите, изразите и разсъжденията? „Безкрайното ще изчислим веднага. Крайното може да отнеме малко повече време“ – пише Станислав Улам.

Хилберт предлага едно крайно обяснение на пространството – то е крайно делимо. Между всеки две точки няма безкрайно много други. Има такова нещо като най-малко разстояние във физическия свят. С това той иска да избяга от апориите на Зенон, илюстриращи невъзможността чрез крайното да разберем безкрайното: Ахил, който вечно гони костенурката, правеща винаги малка крачка, докато той прави по-голяма, за да я настигне; стрелата, която никога не достига целта си, защото във всеки отделен момент от време е неподвижна. Най-добрият ученик на Хилберт и втори след него по ранг Херман Вайл отговаря на този финитизъм с капана, заложен още от учениците на Питагор. Ако между точките в пространството има най-малко разстояние и те са краен брой, тогава как ще измерим диагонала на квадрата? Ще трябва да броим единичните квадрати, определени от точките. На Фиг. 3 височината е четири квадрата, широчината е четири квадрата. А диагоналът? По диагонала отново са четири квадрата и следователно, той е дълъг, колкото страната на големия квадрат, и теоремата на Питагор a2+b2=c2 (в случая 2a2 =d2) не важи. Ние виждаме с очите си обаче, че тя важи, с което достигаме до противоречие с нашето предположение в началото, че точките са краен брой. Това е свеждане до абсурд, reductio ad absurdum (casus accusativus), матиращ ход в математиката. Нашето предположение не може да е вярно, щом води до абсурд, следователно пространството е безкрайно делимо. И тук изниква въпросът: кое е реално? Защото аргументът включва позоваване на сетивата ни – ние виждаме, че теоремата на Питагор е валидна.

 

Фигура 2. Решетката на Вайл, уловила финитизма в капана на безкрайно малкото.

Аргументът на Вайл е красив, защото не се интересува от мащабите. Никъде не уточняваме колко на брой са точките в един квадратен метър, и оттам – колко е разстоянието между тях. Дължината на диагонала, измерена в квадрати, не се приближава до изчисленото по теоремата на Питагор с намаляването на разстоянието между точките и с увеличаване на техния брой. По хоризонтала, по вертикала и по диагонала имаме равен брой квадрати – Semper idem – винаги еднаква и винаги неграничеща с непрекъснатото. Между безкрайно малкото и нищото тук има бездна.

 

„Математиката е бягство от реалността.“

Станислав Улам

 

Ако математиката наистина представлява бягство от реалността, то реалността не може да избяга от математиката. Пример за това са комплексните числа и фракталите. Комплексното число има реална и имагинерна част – x+iy. То ползва имагинерната единица i, която, повдигната на квадрат, дава отрицателно число – i2=-1. Когато уравнението ни няма решение, ние си измисляме обекти, за които то да има такова: i*i=-1. Но макар че са възникнали като имагинерни, плод на човешкото въображение, комплексните числа се оказват необходими, за да се опише реалността на ниво субатомни частици[i]. Съществуват експерименти, при които е невъзможно да се предскаже правилно поведението на частиците, без да се ползват комплексните числа. Така реалността на определено ниво се оказва по-математическа, отколкото дори Питагор е подозирал, когато съставя теорията си за музиката на сферите. Според нея видимата хармония в движението на планетите е следствие на природни закони, неизменни както във времето, така и в математическата си форма. С други думи, числото управлява космоса. Тази теория е залегнала и в съвременната физика. Физичните закони са дори по-математически, отколкото изглеждат по предсказуемото движение на планетите.

„Множеството на Манделброт не е произведение на човешкия разум. Това е откритие. Като връх Еверест множеството на Манделброт е просто там!“

Роджър Пенроуз, математик и носител на нобелова награда по физика

Комплексните числа са в основата на множеството на Манделброт (Фиг.3).

То се получава от едно просто правило, повторено безброй пъти – z->z2+c. Избираме по подходящ начин константата c (комплексно число x+iy). Избираме стойност за комплексното число z, например 1+i, заместваме в z2+c и получаваме ново число. Това ново число заместваме отново в z2+c, получаваме трето, заместваме и него в z2+c и повтаряме безброй пъти – влагаме едно и също, като поредица от кукли матрьошки. След това правим същото, но с други начални стойности на z и за друго c в още една серия от безкрайности, и след това за други, и така докато нарисуваме множеството на Фигура 3. А това е само една от безброй многото негови картини, защото то е себеподобно, но и различно на всяка скала на увеличение. Множеството на Манделброт е фрактал, получен от просто правило, но с безкрайна сложност и многообразие (Фиг.4).

Фигура 3. Множеството на Манделброт – в далечината се вижда цялата картина.

 

 

Фигура 4. Елемент от вселената на Манделброт.

 

До ден-днешен това множество се изучава. А се изучава, защото не е изобретено. Човешкият ум не е в състояние да сътвори нещо подобно. И ако мощта на математическата абстракция скрива в седем символа и знака цяла вселена, то математикът може само да я открие, но не и да я заложи там. За разлика от пътя на безкрайно удряната от молекулите и съдбата поленова частица, който има размерност 4/3 (но няма такт), този фрактал изпълва със съдържание цялата равнина – той има размерност 2, колкото има и самата тя. И все пак остава неясно дали множеството заема някаква площ, която може да бъде измерена по начина, по който реалните числа заемат числовата ос.

Оста има мярка 0, ако на нея са само рационалните числа. Измерването на дължината на една права не се състои в размерите на нейните точки – защото тогава би възникнал парадокс – как правата би имала дължина, след като точките са безразмерни, и как не би била с безкрайна дължина, ако имаха каквито и да е размери, след като са безброй много? Това е апорията на мярката на Зенон, разрешена едва през двадесети век чрез разделянето на правата на интервали, всеки от които е възможно най-малък[ii]. Сборът от дължините им дава дължината на правата. Без реални числа, тези най-малки интервали не биха имали дължина, и сборът от нули би дал нула.

Множеството на Манделброт е едно от най-абстрактните неща, до които се е докосвал човешкият ум. Толкова отвлечено от материалното, доколкото въобще е възможно. То съдържа в себе си числото π и редицата на Фибоначи. И все пак то е свързано с размножаването на животните през логистичното уравнение[iii] по същия начин, по който пътят на поленовата частица е модел на нейното движение. И ако моделът е само приближение на реалността, то трябва да е безкрайно точно – защото ако махнем безкрайно малкото, губим цялото приближение и полезност на абстрактните математически модели. Така диагоналът би станал равен на страната на квадрата – според сетивата! Математическите идеи се абстрахират от реалността, но тя не може да се абстрахира от тях. И ако реалността е крайна, а математиката вечна – Ars infinita, vita finita, следва да се запитаме дали реалността не е приближение на математиката?

 

 

[i] https://www.quantamagazine.org/imaginary-numbers-may-be-essential-for-describing-reality-20210303/

[ii] Правилата за покриването на правата с интервали са много абстрактни, поради което не ги даваме тук. Достъпен пример има на тази връзка – https://www.youtube.com/watch?v=cyW5z-M2yzw

[iii] Логистичното уравнение описва периодични вълни от прираст и спад на популациите на животни, които стават все по-сложни и по-сложни, докато прераснат в даден момент в хаос – случайно изглеждащи траектории на дялове на популацията, които можеш да предскажеш точно, само ако знаеш съвършено точно началния им брой. Множеството на Манделброт е свързано с това усложняване, което приема формата на постоянно удвояване на броя периоди на колебание с нарастване на скоростта на размножаването. Колебанието с един период е поведение от типа на обикновеното махало (pendulum) на стенния часовник. Виж на фигурата – ако отклоним махалото от равновесието му, то ще се залюлее и ще се върне при нас след един период. Ако периодите се удвоят, движението на едно двойно махало (виж фиг. 2) ще направи две залюлявания с два различни периода, преди да се върне при нас. Ако ги удвоим още веднъж, ще стане движение с четири периода, преди отново да се върне в началното положение, от което сме го пуснали. С увеличаването на скоростта на размножение r броят на тези периоди непрекъснато се удвоява и промените в броя на населението стават все по-сложни, като все по-сложно движение на махало, докато в един магически момент броят на периодите става безкраен и движението се превръща в хаотично. Хаосът имитира случайността, но при съвършено еднакво начално положение на махалото бихме получили съвършено еднакви траектории, докато при случайността това не би било възможно. В практиката обаче съвършеното знание не е възможно за несъвършени същества и хаотичните системи имат ограничена предвидимост (като времето, Слънчевата система и броя леминги, които се размножават достатъчно бързо, за да бъде хаотичен този брой). Великолепно и подробно обяснение на достъпен език дава биологът Робърт Саполски в лекция в Станфорд – след 45 мин (видео линк).

 

Фигура 1. Единично махало

Фигура 2. Двойно махало с хаотично движение