Математиката е единствената неизчерпаема човешка дейност. Можем да си представим, че човечеството накрая ще научи всичко във физиката и биологията. Но човечеството със сигурност няма да може да открие всичко в математиката, защото предметът е безкраен. Самите числа са безкрайни!
Пол Ердьош
Драконът, който изяде слънцето
Внимателният читател може би ще се усъмни в моя превод на тази мисъл на легендарния пътуващ унгарски математик Пол Ердьош, човекът с хиляда и един труда. Как биха могли числата да бъдат безкрайни? Все пак всяко число, което познаваме лично, изглежда крайно. Всяко естествено число, с което броим овце, преди да заспим – 1, 2, 3…– е крайно. Как би могло да бъде иначе? Може би фразата „Numbers themselves are infinite“ означава, че просто са безброй много? За безкрайността сме писали и преди, но не описахме всичко (а и как бихме могли?). Идеята на Кантор, че след като свърши безкрайната редица на естествените числа, започват трансфинитните числа (нито крайни, нито безкрайни), изглежда абсурдна. Затова Джони Фон Нойман (също унгарец) е предложил следната конструкция на числата, при която безкрайността произлиза от нищото, обратно на казаното от Парменид „от нищо, нищо не произлиза“:
Нулата е празното множество – ∅={}
Единицата е множество, което съдържа нулата, или празното множество:
1- {0}= {∅}.
Двойката е множество, съдържащо нулата и единицата:
2- {0,1}= {∅,{∅}}.
Тройката съдържа 0, 1 и 2:
3- {0,1,2}= {∅,{∅},{∅,{∅}}}.
Тук числата са множества и всяко множество е по-голямо от всяко едно от числата, които съдържа, най-малкото защото, така да се каже, ги е погълнало, както драконът, който погълнал слънцето.[i] Луната е множество от молекули, всяка от които е множество от атоми, всеки от които е множество от протони, електрони и неутрони; протоните и неутроните са множества от кварки…. Приказката за едно множество, изяло друго, продължава безкрай.
И така, множеството на естествените числа ℕ само по себе си е число, което съдържа всички предишни ℕ={0,1,2,…}= {∅,{∅},{∅,{∅}}…}.. Така, то трябва да е по-голямо от най-голямото естествено число, тъй като го съдържа, въпреки че най-голямо естествено число няма (винаги можем да добавим 1). Тези множества се наричат „добре наредени“, защото винаги имат най-малък елемент (пример за множество без най-малък елемент е интервалът (0,1), който не включва нулата – винаги има по-малко число, по-близко до нулата, но тя никога не се достига), а дали имат най-голям елемент, това не ни интересува. Знаем, че дори отвъд най-големия елемент има безкрайно много други – съществуват колекции, които са твърде големи, за да бъдат дори безкрайни множества, тъй като биха породили парадокс като този на Ръсел[ii]. Така числата могат да бъдат безкрайни, а не просто безкрайно много, защото са множества… Тук човек достига своя предел на разбиране, завива му се свят и започва да се пита: „Да не би да съм полудял“? Неслучайно Честъртън пише, че по-скоро логиците, а не поетите полудяват, защото първите се опитват да поберат небесата в главите си, а вторите да издигнат себе си до небесата[iii].
Затова създателите на математиката, античните гръцки философи, в опита си да запазят чувството си за порядък и усета си за красота, отхвърлят образа на безкрайността: драконът, погълнал цялата Вселена, е прогонен, а красотата е сведена до измеримото.
В красотата, която древните гърци изобразяват в своите статуи (Фиг. 1), своята астрономия (Фиг. 2), в своята математика, където господства рационалното съотношение на целите числа, отсъства безкрайността.
Фигура 1 Мраморна статуя Diadoumenos (носителят на диадемата) на Поликлет. Пропорционалността и съразмерността на частите на телата е основен елемент от красотата на фигурата.
Фигура 2. Геоцентричният модел на Птолемей, със Земята в центъра на Вселената. Всички описани траектории на планетите образуват симетрична фигура, която позволява многократно завъртане на различни ъгли така, че отново да съвпаднат със себе си. Тази симетрия се корени в рационалните отношения на периодите на обикаляне на планетите, в които актуалната безкрайност отсъства. Моделът е по-сложен от реалността, защото предполага сложни траектории на планетите, с които да обясни защо за нашите очи те се движат ту напред, ту назад по зодиака, но е и по-красив от реалността, защото поради симетрията изглежда по-прост за нашите очи. Движенията на планетите са сума от въртения в кръг, тъй като кръгът е най-симетричната и следователно най-красива фигура.[iv]
Числото като модел на света
Истинската беда на нашия свят не се състои в това, че е рационален или нерационален. Бедата е, че е почти рационален, но не съвсем. Животът не е нелогичен, но хвърля логиците в шах. Изглежда малко по-математичен и подреден, отколкото е всъщност, и макар редът в него да е очевиден, дивото е скрито някъде и изчаква.
Г. К. Честъртън
Питагорейската музикална теория разчитала на съотношенията на целите числа – квинтата е музикален интервал със съотношение на честотите на двата звука 3:2. Подобни рационални числа са и другите музикални интервали в питагорейската музика. Същите рационални числа се срещат и в небесните движения (съотношение на периодите на движение на планетите), откъдето е дошла и идеята за „музиката на небесните сфери“. Числото в учението на Питагор не носи само мистична сила – то е познавателен модел на света. Числото е мярката на всички неща (всичко може да се представи чрез цели числа). Затова и безкрайни числа не биха могли да съществуват в древна Елада, както и Аристотел изрично пише във „Физика“: „Големината не е безкрайна нито в посока на намаляване, нито на увеличение“. Безкрайното като число не може да бъде обхванато в ума, не може да бъде задържано в него. Питагореецът Хипасий, който разкрил на обществото съществуването на ирационалните числа, например златното сечение (1), според Ямблих е удавен в морето именно заради това си престъпление. Ирационалните числа показват, че обща мярка за всички числа не съществува – няма такова число, което да се вмества цял брой пъти във всяко едно: числата не са просто сборове от единици. Общата единица, чрез която можем да измерим всичко като кратно на нея, просто не съществува. Светът е по-малко рационален, отколкото в Античността са искали да признаят.
(1)
Античните математици са разбирали това много добре, но успели да го замаскират, като преминали от алгебра към геометрия – защото това, което не може точно да се изчисли (или поне част от него), може точно да се начертае с линия и пергел. Според Ямблих, Хипасий е удавен, защото е разкрил на публиката формата на додекаедъра, който показва как можем да създадем сфера от дванадесет петоъгълника (Фиг. 3). Диагоналът d на правилния петоъгълник е произведението от златното сечение (1) и дължината на неговата страна a – d= φ.a. Сферата според Платон е най-красивата форма, защото е с най-висок ред на симетрия (можем да я завъртим около оста ѝ на безброй ъгли и винаги ще съвпадне със себе си), а петоъгълниците са геометрично изражение на непознаваемото, ирационалното, макар че питагорейците са знаели, как да създадат сфера от тях. С това непознаваемото се свежда до познаваемото и се превръща в регулярно, следователно добро и красиво. Тринадесетте книги на „Елементи“ на Евклид са построени по такъв начин, че кулминацията в последната книга е именно метод за построяване на додекаедъра. Защо неговото съществуване и теоретично построяване са били толкова важни? Заради свойствата на правилния петоъгълник.
Фигура 3. Римски додекаедър – правилна, симетрична фигура, съставена от дванадесет правилни петоъгълника.
Еднакви във всички посоки
Петоъгълникът (пентагон) е един от правилните многоъгълници. Такива са равностранните триъгълници, квадратите, правилните шестоъгълници. Наричат се правилни, защото са създадени чрез избиране на точки от окръжността през равни ъгли и тяхното свързване. Хексагонът (Фиг. 4) (шестоъгълникът) има шест ъгъла по 120 градуса и е направен от шест еднакви триъгълника. Квадратът има четири ъгъла по 90 градуса (Фиг. 5).
Фигура 4. Хексагон (не хексалгин).
Фигура 5. Квадрат (не 500).
Лесно можете да покриете равнината с еднакви квадрати – и така тя ще изглежда еднаква във всички посоки (можем да си го представим от опит). Същото можем да направим и с правилния шестоъгълник (Фиг. 6). Ако се местим от един шестоъгълник на друг в безкрайната равнина и стоим в центъра, ще виждаме една и съща картина във всички посоки. Това е периодичното покриване на равнината, периодично като рационално число в десетичната система, така както 1/3 = 0.3333333333 или 1/7 = 0.142857142857. Това е възможно, защото ъглите на шестоъгълника са по 120 градуса и три такива ъгъла правят 360 градуса – пълната окръжност. Това позволява да съберем всеки три върха на допиращи се шестоъгълници в една точка (Фиг. 6). При квадрата ъглите са по 90 градуса и 4 ъгъла правят 360 – затова можем да съберем четири върха на допиращи се квадрати в една точка (Фиг. 7)
Фигура 6. Покриване на равнината с правилни шестоъгълници (хексагони).
Фигура 7. Покриване на равнината с квадрати.
Петоъгълникът е нещо по-различно, нещо, съдържащо неизмеримото ирационално число (1). Неговите пет ъгъла са по 108 градуса, които не „измерват“ 360 градуса – 360 не е кратно на 108, затова няма как да се съберат нито три, нито четири, нито пет върха на пентагони в една точка (Фиг. 9).
Фигура 8. Правилен петоъгълник (пентагон).
Фигура 9. Опит за покриване на равнината с правилни петоъгълници.
Петоъгълниците са израз на ирационалното, на неизмеримото – с тях не можем да покрием равнината. Затова откриването на додекаедъра е истинска революция – в тримерното пространство можем да изградим правилна фигура от петоъгълници, която се вписва в сфера и е петото правилно (Платоново) тяло. Тя става символ на триумфа на разума над непознаваемото, на крайното над безкрайното, на красотата в класическия смисъл на думата – пропорционалност, симетрия, простота.[v] Това е кулминацията и в развитието на античната гръцка математика, събрана в труда на Евклид, един труд, продиктуван по-скоро от естетика, отколкото от практически цели, последователно изградена творба от простото и очевидното към сложното и учудващото, като стълба към небесата – една епическа поема на геометрията, въздигаща човешкия разум и интуиция в култ, въздигаща еднаквото във всички посоки, простото и еднообразното на пиедестала на красотата, нещо, което на Изток от Гърция не биха приели и разбрали.
Еднакви във всички посоки, но безкрайно разнообразни
Симетрията се цени от всички народи – античните мозайки, както тези на римляните (Фиг. 10), така и тези на персите (Фиг. 11) го доказват. И ако първите изглеждат еднакви, където и да сме стъпили върху тях, то вторите ни изненадват с безкрайното разнообразие на шарки, които почти се повтарят, но никога не съвпадат с предишните парчета от мозайките. В светилището Дарб-е-имам има квазипериодична мозайка, описана математически едва през двадесети век от математика и физика (следователно геометър) Роджър Пенроуз.
Фигура 10. Мозайка от Помпей, 1978 година.[vi]
Фигура 11. Мозайка на Пенроуз в Дарб-е Имам, светилище в Иран, построено през 1453 г.[vii]
Мозайката е квазипериодична, защото „почти“ се повтаря. Има красота в нея, въпреки, че скритите петоъгълници не са ориентирани симетрично, а отделните парчета шарки не се повтарят периодично, както е при шестоъгълните или квадратни мозайки. Еднаквостта не е във всички посоки, няма общ ритъм на повторение, а безкрайно много вариации около него. Тайната е в пентагона и в това, че той не може сам да покрие равнината (Фиг. 12). Мозайката на Пенроуз се създава с мрежа от пет успоредни снопа прави, които пресичат мислените хоризонтални снопове под ъгъл 36 и 72 градуса. В нея пресечните точки на всеки две прави са изместени на неравни интервали, защото дължините в тази мрежа се описват с ирационални числа[viii], а съотношението на тези числа е златното сечение φ. Това е и съотношението на мозаечни елементи (Фиг. 13), когато гледаме цялата безкрайна равнина, което е постижимо само за безсмъртни очи. С нашите прозорци към света можем само да се приближим към вечното по приятен, но непредсказуем начин.
Фигура 12. Пентагрид (петомрежа).
Затова, ако сложим в пресечните точки на всеки две прави съответните елементи на мозайките, ориентирани под прав ъгъл, ще образуваме мотиви, които не се повтарят периодично[ix]:
(a)
(б)
(в)
Фигура 13. Етапите на конструкция на мозайка на Пенроуз.
Мозайките на Пенроуз са описани от него, но са създадени преди хилядолетия на Изток – Изтокът, който е по-мистичен от Елада и от който идва абсурдната идея за нулата, знакът за небитието, знакът, който Архимед не измисля, въпреки че развива десетичната система и хиперстепенуването в опита си да преброи песъчинките в морето на Космоса. От нулата, според съвременното разбиране, произлизат всички числа. Изтокът приема парадокса, отхвърлян от гръцката мисъл – приема безкрайността, която тя отхвърля. Красотата на неизмеримото е в това, че то е породено от прости начала – елементите в мозайката на Пенроуз са два, хвърчило и лястовица:
Фигура 14. Хвърчилото и лястовицата в мозайката на Пенроуз.
Тези прости фигури се повтарят безброй пъти, но в съчетания, които са всеки път леко изместени, леко встрани. Подредбата никога не се повтаря. Всеки краен фрагмент от мозайката се появява безброй пъти в безкрайната равнина на нашето въображение, но мотивът не се повтаря! Мозайката на Пенроуз съдържа в себе си симетрия и скрити мотиви, тъй като се оказва, че тя съвпада напълно с шарката на Кеплер (Фиг. 15). Съставена от правилни десетоъгълници, малки пентагони и петолъчни звезди, тя също покрива равнината и е друг начин да изразим безкрайното многообразие, породено от непознаваемите ирационални числа като златното сечение. Това многообразие съществува в природата под формата на квазикристали. „Квази“ на латински означава „почти“. Шарките, които почти се повтарят, симетрията, която е почти точна, кристалите, които са почти съвършени… Светът, който е почти рационален, но не напълно, който изглежда по-рационален, отколкото е, се управлява от Числото, но Числото е безкрайно. Музиката, която поражда хармония, дори когато музикалният интервал е дисонантен (българският фолклор) и има силно ирационално съотношение на честотите на звука, е истинската музика на небесните сфери. Създателите на европейската наука и култура са се примирявали с ирационалното, утешавали са се, че могат точно да го начертаят и оттам да го познаят чрез очите, макар и неспособни точно да го изчислят. Съвременният човек е по-близо до Изтока, който винаги е приемал ирационалното и парадокса, защото е прозирал ограниченията на логиката, неспособността й да познае реалността, без да ги приема за ограничения на самото съществуване. Мистичният поглед, възприет от съвременния чист математик, е по-смирен и скромен от желанието на античния философ да осмисли напълно света.
(а)
(б)
Фигура 15. Шарката на Кеплер (а) и нейното налагане върху мозайката на Пенроуз (б).[x]
Усетът за красивото
В антична Елада красивото е пропорционалното, съразмерното, хармонично подреденото, изчистеното и рационалното изкуство: повторяемост във всички посоки на шарките, симетрия на фигурите, така ценени и в съвременната физика, защото дават една простота на законите. Но както в източното изкуство, така и в съвременната физика, симетрията се оказва само почти точна, рационално приближение до ирационалното. Хармонията в моделите, също както в нашия фолклор, е приятна, но е дисонантна. Безкрайното разнообразие на себеподобието, което предизвиква възторг с дълбочината си, заема своето място в изкуството и човешката мисъл редом до по-простите и успокояващи шестоъгълни мотиви или скритото ирационално в тримерните фигури като додекаедъра. Непознаваемото възвисява така, както познаваемото успокоява, защото човекът е и разумен, но и несъвършен, способен на божествения акт на мисълта, но неспособен да се приближи до безкрайността. Съвременният свят съвместява и двата усета за красота в науката и изкуството така, както те са съвместени в природата, с нейните кристали и квазикристали, с нейните точни и почти точни симетрии, с нейните рационални и ирационални закони.
[i] Сред народите на древна Азия съществувало вярването, че при слънчево затъмнение дракон е погълнал слънцето. – бел. ред.
[ii] Парадоксът на Ръсел казва, че множеството от всички множества, които не са членове на себе си (например множеството на реалните числа не е реално число), би трябвало да е член на себе си, защото не е член на себе си. То е множество от всички множества, които не са членове на себе си, следователно трябва да е едно от тях, тъй като не е член на себе си, но ако е едно от тях, то тогава то би било член на себе си. Подробно разгледано от Росен Люцканов в „Щрихи към (пред-)историята на парадокса на Ръсел“ тук.
[iii] Виж нашето есе „Математикът като поет“ тук.
[iv] За красотата и симетрията вижте предишно наше есе „Истина и красота в математиката“.
[v] „Само по себе си „Е“ не се различава от другите букви чрез силата си, чрез вида си или чрез звука си, но то е почетено като знак на голямото и важно за всичко число – петицата, откъдето мъдреците наричаха петуване самото смятане.“ Виж тук. °E° тук е буквата на омфалоса в Делфи, със значението на числото пет.
[vi] Източник: https://www.pompeiiinpictures.com/pompeiiinpictures/R6/6%2012%2002%20p3.htm
[vii] Източник (фиг. 57): https://link.springer.com/article/10.1007/s00004-015-0281-5
[viii] Разстоянията между успоредните прави, сключващи ъгъл 36 градуса с хоризонталните е 1/sin36, а разстоянията между правите, сключвaщи ъгъл 72 градуса е 1/sin72.
[ix] Източник и подробно обяснение от minutephysics: https://www.youtube.com/watch?v=-eqdj63nEr4
[x] Източник, лекцията на Роджър Пенроуз: https://www.youtube.com/watch?v=th3YMEamzmw